Twierdzenie Engela

Ten artykuł od 2010-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Google Books • Google Scholar • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Twierdzenie Engela – twierdzenie dające odpowiedź na pytanie, kiedy dana algebra Liego jest nilpotentna.

Definicje wstępne

Algebra Liego ${\displaystyle \mathbf {L} }$ jest nilpotentna, kiedy zstępujący ciąg centralny, zdefiniowany przez:

${\displaystyle \mathbf {L} _{0}=\mathbf {L} ,}$

${\displaystyle \mathbf {L} _{i+1}=[\mathbf {L} ,\mathbf {L} _{i}].}$

W końcu osiąga {0}.

Dla ${\displaystyle x\in \mathbf {L} }$ operator dołączony ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ definiujemy przez:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y].}$

Operator dołączony jest operatorem liniowym na przestrzeni wektorowej ${\displaystyle L.}$

Twierdzenie

Skończeniewymiarowa algebra Liego jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy operator dołączony każdego elementu tej algebry jest nilpotentny.

Uwagi

Twierdzenie jest prawdziwe niezależnie od ciała nad którym zbudowana jest algebra Liego.