Aksjomaty Zermela-Fraenkla

Aksjomaty Zermela-Fraenkla, aksjomatyka Zermela-Fraenkla – układ aksjomatów teorii mnogości zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później uzupełniony przez Abrahama Fraenkla. Tym, co w istocie Fraenkel dodał do teorii Zermela, były funkcje.

Dla aksjomatyki Zermela-Fraenkla stosuje się często wygodną symbolikę ZF. Ze względu na specyfikę jednego z jej aksjomatów zwanego aksjomatem wyboru (ang. axiom of choice; w skrócie: AC), obok symboliki ZF, stosuje się także niekiedy – przy okazji posługiwania się aksjomatyką Zermela-Fraenkla, wzbogaconą dodatkowo o przyjęcie wspomnianego przed chwilą aksjomat wyboru – oznaczenie „ZFC” (litera „C” w tym oto napisie, ma w zamyśle pochodzić wówczas od słowa choice, z wyrażenia axiom of choice). Takie oznaczenie bywa wykorzystywane zarówno po prostu dla przywołania teoretycznego takiego oto konkretnego systemu aksjomatycznego; jak też i na przykład dla zaznaczenia (jeśli określony dyskurs już w domyśle odbywa się jedynie wokół rozważań na temat aksjomatów Z-F), że przeprowadzenia dowodu jakiegoś twierdzenia, istotny okazuje się być aksjomat wyboru (co oznacza, że twierdzenie można udowodnić przy wykorzystaniu AC; i zarazem że przyjęcie zdania ¬AC, prowadzi nas do negacji zdania, stanowiącego tezę rzeczonego twierdzenia).

Historia

W przeszłości zbiory pojmowano intuicyjnie. Uważano na przykład, że każda właściwość pociąga za sobą istnienie odpowiadającego jej zbioru elementów, którym ta właściwość przysługuje. Takie pojmowanie teorii mnogości prowadziło jednak do sprzeczności, wśród których wymienić można antynomię Russela (mianowicie przyjmując za cechę niebycie własnym elementem $x\notin x,$ otrzymuje się zbiór, który należy do siebie samego wtedy i tylko wtedy, kiedy do siebie nie należy). W toku dyskusji nad rozwijaną teorią matematycy przekonali się, że ich intuicje dotyczące pojęcia zbioru różnią się między sobą. Stało się jasne, że teoria mnogości wymaga oparcia na jakimś systemie aksjomatycznym.

Pierwszą próbę skonstruowania takiego systemu podjął Zermelo w 1904. Wprowadził jako pojęcia pierwotne swej teorii zbiór oraz relację bycia elementem $\in .$ Pomysł Zermela obejmował aksjomaty jednoznaczności, zbioru pustego, sumy zbiorów, zbioru potęgowego, nieskończoności oraz aksjomat o podzbiorach dla danej formuły. Sformułowanie tego ostatniego zostało w pracy Zermela uznane za niejasne.

W 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogości: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji liczb porządkowych. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych. Ponadto w aksjomacie podzbiorów Zermelo odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości. Fraenkel zaproponował użycie pojęcia funkcji, a Skolem predykatów jako takich, które mogą zostać sformułowane w rachunku predykatów z równością, w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem $\in$ (U+2208). Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów przez aksjomat zastępowania. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela aksjomat regularności, zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF.

Aksjomaty Zermela-Fraenkla

Aksjomat ekstensjonalności

Główny artykuł: Aksjomat ekstensjonalności.

Jeżeli zbiory

a

i

b

mają te same elementy, to są identyczne:

\forall a\;\forall b\;\left(\forall x\;(x\in a\Leftrightarrow x\in b)\Rightarrow a=b\right)

Aksjomat zbioru pustego

Główny artykuł: Aksjomat zbioru pustego.

Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:

\exists x\;\forall y\;\neg (y\in x)

Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość: zbiór pusty, oznaczany symbolem

\emptyset

Aksjomat podzbiorów

Główny artykuł: Aksjomat podzbiorów.

Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.

Dla każdego zbioru

b

istnieje zbiór

a,

złożony z tych i tylko tych elementów

x

zbioru

b,

które mają własność

\varphi {:}

\forall p_{1}\dots \forall p_{n}\;\forall b\;\exists a\;\forall x\;{\bigg (}x\in a\Leftrightarrow {\Big (}x\in b\land \varphi (x,b,p_{1},\dots ,p_{n}){\Big )}{\bigg )}

Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.

Aksjomat pary

Główny artykuł: Aksjomat pary.

Dla dowolnych zbiorów

a

i

b

istnieje zbiór

c,

którego elementami są dokładnie zbiory

a

i

b{:}

\forall a\;\forall b\;\exists c\;\forall x\;{\Big (}x\in c\Leftrightarrow (x=a\lor x=b){\Big )}

Aksjomat sumy

Główny artykuł: Aksjomat sumy.

Dla dowolnej rodziny zbiorów

r

istnieje zbiór

u,

do którego należą dokładnie te elementy

x,

które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny

r{:}

\forall r\;\exists u\;\forall x\;{\Big (}x\in u\Leftrightarrow \exists a\;(x\in a\land a\in r){\Big )}

Aksjomat zbioru potęgowego

Główny artykuł: Aksjomat zbioru potęgowego.

Dla każdego zbioru

x

istnieje zbiór

p,

którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru

x{:}

\forall x\;\exists p\;\forall z\;{\Big (}z\in p\Leftrightarrow \forall y\;(y\in z\Rightarrow y\in x){\Big )}

Aksjomat nieskończoności

Główny artykuł: Aksjomat nieskończoności.

Istnieje zbiór induktywny:

\exists x\;{\Bigg (}\exists a\;{\Big (}a\in x\land \forall b\;\neg (b\in a){\Big )}

\land \forall c{\bigg (}c\in x\Rightarrow \exists d\;{\Big (}d\in x\land \forall e\;{\big (}e\in d\Leftrightarrow (e\in c\lor e=c){\big )}{\Big )}{\bigg )}{\Bigg )}

Istnieje wiele takich zbiorów.

Część wspólna wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.

Aksjomat zastępowania

Główny artykuł: Aksjomat zastępowania.

Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją.

Jeżeli dla każdego

x

istnieje dokładnie jeden

y,

dla którego zachodzi

\Theta (x,y),

to dla dowolnego zbioru

X

istnieje taki zbiór

Y,

że:

\forall y\;{\bigg (}y\in Y\Leftrightarrow \exists x\in X\;{\Big (}\Theta (x,y){\Big )}{\bigg )}

\forall p_{1}\dots \forall p_{n}\;\forall X\;{\Bigg (}\forall x\;\exists !y\;\Theta (x,y,X,p_{1},\dots ,p_{n})

\Rightarrow \exists Y\;\forall y\;{\bigg (}y\in Y\Leftrightarrow \exists x\;{\Big (}x\in X\land \Theta (x,y,X,p_{1},\dots ,p_{n}){\Big )}{\bigg )}{\Bigg )}

przy czym:

\exists !y\;w(y)\Leftrightarrow ((\exists y)(\forall x)\;\left(w(x)\Leftrightarrow x=y\right))

Aksjomat regularności

Główny artykuł: Aksjomat regularności.

Inna nazwa: aksjomat ufundowania.

Każdy niepusty zbiór

x

ma element rozłączny z

x{:}

\forall x\;{\Bigg (}x\neq \emptyset \Rightarrow \exists y\;{\bigg (}y\in x\land \neg {\Big (}\exists z\;(z\in x\land z\in y){\Big )}{\bigg )}{\Bigg )}

Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.

Aksjomat wyboru

Główny artykuł: Aksjomat wyboru.

Dla dowolnej rodziny

r

zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor

s

(zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).

\forall r\;{\Bigg (}\forall a\;(a\in r\Rightarrow a\neq \emptyset )

\land \forall a\;\forall b\;{\bigg (}{\Big (}a\in r\land b\in r\land a\neq b{\Big )}\Rightarrow \neg {\Big (}\exists x\;(x\in a\land x\in b){\Big )}{\bigg )}

\Rightarrow \exists s\;\forall a\;{\Big (}a\in r\Rightarrow \exists !y\;(y\in s\land y\in a){\Big )}{\Bigg )}

przy czym:

\exists !y\;w(y)\Leftrightarrow ((\exists y)(\forall x)\;\left(w(x)\Leftrightarrow x=y\right))

Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku, a także z aksjomatem multiplikacji głoszącym, że dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów

\langle a_{i}\colon i\in I\rangle

istnieje funkcja wyboru

(f\colon I\to \bigcup _{i\in I}a_{i})

taka, że:

f(i)\in a_{i}

dla wszystkich

i\in I.

Uwagi

↑ W literaturze przedmiotu dominuje dopełniacz nazwiska w postaci nieodmienionej, czyli „aksjomaty Zermelo”, co jest niezgodne z polskimi zasadami deklinacji; sporadycznie pojawia się, również niepoprawna, forma „Zermeli”.
↑ Znacznie rzadziej występuje oboczność „Fraenkela”.
1 2 Umożliwiają one m.in. konstrukcję $\aleph _{\omega }.$ Przykładowo $2^{\aleph _{0}}$ może być równe m.in. $\aleph _{1},$ czy $\aleph _{2}$ … ( jedynym znanym nam ograniczeniem na $2^{x}$ , jest: $\mathrm {cf} (2^{x})>x$ ).
To oszacowanie wynika z tzw. twierdzenia Kőniga; zob. także: współkońcowość. Najmniejszą liczbą kardynalną, którą – na sposób dowodliwy, w ramach $ZFC$ – nie może być wyrażenie $2^{\aleph _{0}}$ , jest: $\aleph _{\omega }$ ; ponieważ jest to najmniejsza liczba kardynalna, która dowodliwie w $ZFC$ jest singularna i której współkońcowość jest przeliczalna.

Przypisy

↑ Kuratowski i Mostowski 1978 ↓, s. 73.
↑ Kuratowski i Mostowski 1978 ↓, s. 67.
↑ Kuratowski i Mostowski 1978 ↓, s. 70.
1 2 Jean vanJ. Heijenoort Jean vanJ., FROM FREGE TO GÖDEL, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, HARVARD UNIVERSITY PRESS, 1967, s. 286, 292 (ang.).

Bibliografia

KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., AndrzejA. Mostowski AndrzejA., Teoria Mnogości, „Monografie”, trzecie zmienione, 27, Monografie Matematyczne, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978 .

Literatura dodatkowa

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: WN PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Zermelo-Fraenkel Axioms, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Artykuły na Stanford Encyclopedia of Philosophy (ang.) [dostęp 2018-01-29]:
MichaelM. Hallett MichaelM., Zermelo’s Axiomatization of Set Theory, 2 lipca 2013 . (Aksjomatyzacja Zermela teorii mnogości)
LauraL. Crosilla LauraL., Set Theory: Constructive and Intuitionistic ZF, 19 lutego 2014 . (Teoria mnogości: konstruktywne i intuicjonistyczne ZF)

[1] W literaturze przedmiotu dominuje dopełniacz nazwiska w postaci nieodmienionej, czyli „aksjomaty Zermelo”, co jest niezgodne z polskimi zasadami deklinacji; sporadycznie pojawia się, również niepoprawna, forma „Zermeli”.

[2] Znacznie rzadziej występuje oboczność „Fraenkela”.

[ao-3] 1 2 Umożliwiają one m.in. konstrukcję $\aleph _{\omega }.$ Przykładowo $2^{\aleph _{0}}$ może być równe m.in. $\aleph _{1},$ czy $\aleph _{2}$ … ( jedynym znanym nam ograniczeniem na $2^{x}$ , jest: $\mathrm {cf} (2^{x})>x$ ).
To oszacowanie wynika z tzw. twierdzenia Kőniga; zob. także: współkońcowość. Najmniejszą liczbą kardynalną, którą – na sposób dowodliwy, w ramach $ZFC$ – nie może być wyrażenie $2^{\aleph _{0}}$ , jest: $\aleph _{\omega }$ ; ponieważ jest to najmniejsza liczba kardynalna, która dowodliwie w $ZFC$ jest singularna i której współkońcowość jest przeliczalna.

[CITEREFKuratowskiMostowski197873-4] Kuratowski i Mostowski 1978 ↓, s. 73.

[CITEREFKuratowskiMostowski197867-5] Kuratowski i Mostowski 1978 ↓, s. 67.

[CITEREFKuratowskiMostowski197870-6] Kuratowski i Mostowski 1978 ↓, s. 70.

[:0-7] 1 2 Jean vanJ. Heijenoort Jean vanJ., FROM FREGE TO GÖDEL, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, HARVARD UNIVERSITY PRESS, 1967, s. 286, 292 (ang.).