Algoritmo de Chudnovsky

O algoritmo Chudnovsky, descoberto pelos matemáticos ucranianos David e Gregory Chudnovsky, é o mais utilizado para cálculos de alta precisão dos algarismos de π. Baseia-se em uma fórmula de Ramanujan e implementa uma série de convergência rápida após uma função hipergeométrica.

O algoritmo baseia-se no negado número de Heegner ${\displaystyle d=-163}$, a j-função ${\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}}$ e com a seguinte rápida série convergente hipergeométrica generalizada

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(640320^{3})^{k+1/2}}}.\!}$

Note-se que ${\displaystyle 545140134=163}$ × ${\displaystyle 3344418}$ e,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=640320^{3}+743{,}9999999999992500725\ldots \\e^{{\frac {\pi }{3}}{\sqrt {163}}}&=640320{,}00000000060486373\ldots \end{aligned}}}$

Essa identidade é semelhante a algumas das fórmulas de Ramanujan envolvendo π, e é um exemplo de uma série de Ramanujan-Sato.

Referências

• Portal da matemática

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