Base ortonormal

Em álgebra linear, uma base ${\displaystyle \gamma }$ composta pelos vetores ${\displaystyle {\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},{\vec {u_{3}}},...}$ de um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal, seus vetores forem unitários. Ser ortogonal significa que o produto interno entre pares de vetores distintos dessa base são igual a zero, ou seja,

${\displaystyle {\vec {u_{i}}}\cdot {\vec {u_{j}}}=0}$

${\displaystyle \forall i\neq j}$.

Ademais, estar normalizado significa que os vetores da base são todos unitários, ou seja,

${\displaystyle |{\vec {u_{i}}}|=1}$ para ${\displaystyle i=1,2,3,...}$.

Essas duas definições podem ser condensadas assim:

${\displaystyle {\vec {u_{i}}}\cdot {\vec {v_{j}}}=\delta _{ij}}$, onde ${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}0&i\neq j\\1&i=j\end{array}}\right.\quad }$

Normalização

Para transformar uma base ortogonal ${\displaystyle \gamma }$ qualquer em ortonormal, basta fazer com que o conjunto de seus vetores tenham módulo igual a 1. Se a base é composta por ${\displaystyle {\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},{\vec {u_{3}}},...}$, pode-se realizar isso por meio da divisão de cada vetor pelo seu respectivo módulo, um processo nomeado normalização. Em outras palavras:

${\displaystyle {{\hat {u}}_{i}}={\frac {{\vec {u}}_{i}}{|{\vec {u}}_{i}|}}}$ para ${\displaystyle i=1,2,3,...}$

em que ${\displaystyle {\hat {u}}}$ indica que este é um vetor unitário. A nova base ${\displaystyle \beta }$ composta por ${\displaystyle {\hat {u_{1}}},{\hat {u_{2}}},{\hat {u_{3}}},...}$ será então uma base ortonormal.

Ver também

Referências

Bibliografia

1. Seymour Lipschutz, Marc Lipson, Algebra Linear: Coleção Schaum , Bookman, 2011 ISBN 8-540-70041-7
2. Alesio João de Caroli, Carlos Alberto Callioli, Miguel Oliva Feitosa, Matrizes vetores geometria analítica , NBL Editora, 1986 ISBN 8-521-30406-4
3. Antonio Fernando Ribeiro De Toledo Piza, Mecânica Quântica Vol. 51, EdUSP, 2003 ISBN 8-531-40748-6
4. Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Matemática Avançada para Engenharia - Vol II, Volume 2, Bookman, 2009 ISBN 8-577-80497-6
5. Paulo S. R. Diniz, Eduardo A. B. da Silva, Sergio L. Netto, Processamento Digital de Sinais - 2.ed.: Projeto e Análise de Sistemas , Bookman Editora, 2014 ISBN 8-582-60124-7
6. Avinash Chandra Bajpai, L. R. Mustoe, Dennis Walker, Advanced Engineering Mathematics, Hemus, 1977 ISBN 0-471-99520-7
7. HELIO MAGALHAES DE OLIVEIRA, Análise de Sinais para Engenheiros, Brasport ISBN 8-574-52283-X
8. A. Quarteroni, F. Saleri, CÁLCULO CIENTÍFICO com MATLAB e Octave, Springer Science & Business Media, 2007 ISBN 8-847-00718-6

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Base Ortonormal». MathWorld (em inglês)  (em inglês)

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