Conjugado de um número complexo

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Em matemática, o conjugado de um número complexo ${\displaystyle z=a+bi\,\!}$ é o número representado por ${\displaystyle {\overline {z}}=a-bi\,\!}$. Possui grande utilidade nos cálculos com variáveis complexas, além de representar a reflexão do número em torno do eixo das abcissas no Plano de Argand-Gauss.

Propriedades

• ${\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|\,}$ (O módulo do conjugado de um número é o mesmo módulo do número)
• ${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=|z|^{2}\,}$ (o produto de um número pelo seu conjugado é o quadrado do módulo do número)
• ${\displaystyle z+{\overline {z}}=2Re(z)\,}$ (a soma de um número ao seu conjugado é o dobro da parte real do número)
• ${\displaystyle z-{\overline {z}}=2Im(z)\,}$ (a subtração de um número ao seu conjugado é o dobro da parte imaginária do número)

Uso como Variável

Uma vez um número complexo ${\displaystyle z=x+iy}$ ou ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ é dado, seu conjugado é suficiente para reproduzir as partes da variável z:

• Parte real: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Parte imaginária: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Módulo: ${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• Argumento: ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}}}$, então ${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

Além disso, ${\displaystyle {\overline {z}}}$ pode ser usado para especificar linhas no plano:

${\displaystyle \left\{z\mid z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$

O conjunto é uma linha através da origem e perpendicular a ${\displaystyle {\overline {r}}}$ desde a parte real de ${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$ é zero apenas quando o cosseno do ângulo entre ${\displaystyle z}$ e ${\displaystyle {\overline {r}}}$ é zero. Da mesma forma, para uma unidade complexa fixa u = exp (b i), a equação

${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u}$

determina a linha através ${\displaystyle z_{0}}$na direção de u.

Ver também

O Wikiquote tem citações relacionadas a Conjugado de um número complexo.

• Variáveis Complexas - CEFET/RJ Brasil
• Fourier using Matlab^{[ligação inativa]}
• Fourier analysis
• Fourier number
• Fourier's Law
• Heat equation

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