Conjunto conexo

Conjunto conexo, em Teoria dos conjuntos numéricos, é o que não pode ser dividido em apenas dois subconjuntos fechados que não tenham nenhum ponto comum. Ou seja, podemos dizer que um espaço é conexo se pode passar de um ponto qualquer deste espaço para qualquer outro ponto distinto por um movimento contínuo, sem sair dele.

	Letras i e j minúsculas, com pontos em vermelho
Espaço conexo	Dois espaços desconexos (é impossível ir da letra propriamente dita até o ponto sem sair do espaço)

Definição

Mais formalmente podemos definir conjunto conexo da seguinte forma: Diz-se que um conjunto E em um espaço métrico X é conexo se não existem em X dois subconjuntos A e B abertos e disjuntos tais que $A\cap E\neq \emptyset$ , $B\cap E\neq \emptyset$ e $E\subset A\cup B$ .

Também pode-se definir conjunto desconexo, sendo este um conjunto E que satisfaz às seguintes condições:

$E=E_{1}\cup E_{2}$ com $E_{1}$ e $E_{2}$ não vazios
${\bar {E_{1}}}\cap E_{2}=\emptyset$
$E_{1}\cap {\bar {E_{2}}}=\emptyset$

Nesse caso um conjunto é dito conexo quando ele não é desconexo. Lembramos aqui que a notação ${\bar {A}}$ representa o fecho do conjunto A.

Faz sentido também falarmos de espaços conexos, sendo estes espaços que não são a reunião de dois conjuntos abertos disjuntos não vazios, ou seja, um espaço é conexo se admite apenas cisão trivial.

Teoremas

Teorema 1

Dados dois conjuntos B e C, então ${\bar {B}}\cap C={\bar {C}}\cap B=\emptyset$ se e somente se existem F e G abertos tais que $B\subset F$ , $C\subset G$ e $F\cap G=\emptyset$ .

Teorema 2

Um subconjunto E da reta real $\mathbb {R}$ é conexo se, e somente se, E tem a seguinte propriedade: Se $x\in E$ , $y\in E$ e $x<z<y$ , então $z\in E$ .

Corolário

Todo os conjuntos conexos da reta são intervalos.

Teorema 3

A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo (é um invariante topológico).

Teorema 4

O fecho de um conjunto conexo é conexo.

Teorema 5

O produto cartesiano de espaços métricos $M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ é conexo se, e somente se, cada fator $M_{i}$ é conexo.

Exemplos e observações

O cilindro C={ ${(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}=1}$ } é homeomorfo ao produto cartesiano $[0,2\pi )\times (\infty ,-\infty )$ . Como $[0,2\pi )\times (\infty ,-\infty )$ são intervalos, eles são conexos; portanto, o produto cartesiano é conexo e a imagem C de uma aplicação homeomórfica é também um conjunto conexo. Conclui-se, então, que C é um conjunto conexo.
Um conjunto conexo, se for complementarmente conjunto compacto, definirá um conjunto contínuo.
Os conjuntos $\mathbb {N} ,\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ são desconexos.

Referências

↑ IA841 — notas de aula — FEEC. Conceitos elementares de topologia. Disponível em: <http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/IA841/2s2006/notas/cap6.pdf>. Página 12. Acesso em: 20 janeiro 2011.
↑ Rudin, Walter (1971). Princípios de Análise Matemática 1 ed. Rio de Janeiro: Universidade de Brasília

Ver também

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[1] IA841 — notas de aula — FEEC. Conceitos elementares de topologia. Disponível em: <http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/IA841/2s2006/notas/cap6.pdf>. Página 12. Acesso em: 20 janeiro 2011.

[2] Rudin, Walter (1971). Princípios de Análise Matemática 1 ed. Rio de Janeiro: Universidade de Brasília