Conjunto convexo

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Em um espaço euclidiano, uma região convexa é uma região onde, para cada par de pontos dentro da região, cada ponto no segmento de reta que une o par também está dentro da região. Por exemplo, um cubo sólido é um conjunto convexo, mas tudo o que é oco ou tem um recuo, por exemplo, uma forma crescente, não é convexo. De forma geral, em geometria convexa, um conjunto convexo é um subconjunto de um espaço afim que é fechado sob combinações convexas. O limite de um conjunto convexo é sempre uma curva convexa. A interseção de todos os conjuntos convexos contendo um determinado subconjunto A do espaço euclidiano é chamada de invólucro convexo ou envoltória convexa de A. É o menor conjunto convexo contendo A.

Uma função convexa é uma função de valor real definida em um intervalo com a propriedade que sua epígrafe (o conjunto de pontos no gráfico da função ou acima dela) é um conjunto convexo.

A minimização convexa é um subcampo de otimização que estuda o problema de minimizar funções convexas sobre conjuntos convexos. O ramo da matemática dedicado ao estudo de propriedades de conjuntos convexos e funções convexas é chamado de análise convexa. A noção de um conjunto convexo pode ser generalizada como descrito abaixo.

Um subconjunto X de um espaço afim é convexo quando todo segmento de reta ligando dois pontos de X está contido em X.

Ou seja:

${\displaystyle \forall x,y\in X,\ \forall t\in \left[0,1\right],\ (1-t)\ x+t\ y\in X\,}$

Se o conjunto X não é convexo, diz-se côncavo. Em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ convexo é equivalente a conexo, ou seja, os subconjuntos convexos de números reais são os intervalos (incluindo os unitários).

Exemplos

• Espaços afins;
• Os sólidos platónicos;
• Os segmentos de recta;
• Os subespaços vectoriais de um espaço vectorial;
• O conjunto solução para um número arbitrário de desigualdades lineares, tais como ${\displaystyle a_{\alpha }^{T}\leq b_{\alpha },\alpha \in I}$. Em particular, o conjunto solução de finitas desigualdades lineares ${\displaystyle Ax\leq a}$ para alguma matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ é convexo e é chamado de poliedro;
• Uma ${\displaystyle \varepsilon }$-vizinhança ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$ tal que ${\displaystyle X^{\varepsilon }=\{y:inf_{x\in X}\lVert y-x\rVert \leq \varepsilon \}}$
• Todas bolas, abertas ou fechadas, no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Combinação convexa

Uma combinação convexa de um conjunto de pontos ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}\in \mathbb {R} ^{m}}$ é um ponto ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{m}}$ que satisfaz $${\displaystyle z=\sum _{j=1}^{n}t_{j}z_{j}}$$onde ${\displaystyle t_{j}\geq 0,\sum _{j=1}^{n}t_{j}=1}$

Por exemplo, para ${\displaystyle m=2}$, o conjunto de todas as combinações convexas possíveis é o segmento de reta entre os dois pontos.

Um subconjunto ${\displaystyle S{\mbox{ de }}\mathbb {R} ^{m}}$ é dito convexo se, para cada par de pontos ${\displaystyle s\in S}$, ${\displaystyle S}$ também contém todos pontos do segmento de reta ligando tais pontos. Isto é, ${\displaystyle S}$ é um conjunto convexo se ${\displaystyle S}$ contém todas combinações convexas de todos seus pontos.

Propriedades

Valem as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle X}$ é convexo se, e somente se, toda combinação convexa de pontos pertencentes a ${\displaystyle X}$ pertence a ${\displaystyle X}$.
• Um conjunto não vazio que é a interseção de (talvez infinitas) um conjunto de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
• Se ${\displaystyle C}$ é um conjunto convexo e ${\displaystyle X}$ é uma variável aleatória que pertence a ${\displaystyle C}$ como probabilidade ${\displaystyle 1}$. Então ${\displaystyle \mathbb {E} [X]\in C}$.

Ver também

O Wikilivros tem um livro chamado Otimização/Elementos de análise convexa

• Conjunto absolutamente convexo
• Curvas e Superfícies convexas

Referências

Bibliografia

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 

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