Constantes de Feigenbaum

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Em matemática, mais especificamente na teoria da bifurcação, as constantes de Feigenbaum (${\displaystyle \delta }$ e ${\displaystyle \alpha }$) são duas constantes matemáticas obtidas a partir de quocientes num diagrama de bifurcação para uma aplicação não linear. O seu nome deve-se ao físico Mitchell J. Feigenbaum.

História

Originalmente, Feigenbaum relacionou a primeira constante com as bifurcações de duplicação de período no mapa logístico, mas demonstrou igualmente que esta se aplica a todas as aplicações unidimensionais com um único máximo quadrático. Como consequência desta generalidade, qualquer sistema caótico que obedeça a esta descrição bifurca ao mesmo ritmo. Feigenbaum fez esta descoberta em 1975 e publicou-a formalmente em 1978.

As constantes

Os diagramas de bifurcação dizem respeito aos valores-limite assumidos por sucessões do tipo ${\displaystyle x_{n+1}=\mu f(x_{n})}$, onde ${\displaystyle f}$ é uma função real positiva, três vezes diferenciável em ${\displaystyle [0,1]}$ e que possui um único máximo nesse intervalo (isto é, sem outros máximos locais).

Tendo em conta ${\displaystyle x_{m}}$ para uma dada função, abaixo de um determinado valor de ${\displaystyle \mu }$, a sucessão tende a um único limite. Acima desse valor, mas abaixo de outro, a sucessão acaba por oscilar entre dois valores. Acima deste segundo valor, começa a oscilar entre quatro, e assim sucessivamente. Os valores de ${\displaystyle \mu }$ que separam dois intervalos chamam-se valores de bifurcação e denotam-se por ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$, etc.

A primeira Constante de Feigenbaum está definida como o limite da razão entre dois intervalos sucessivos da bifurcação:

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {\mu _{n+1}-\mu _{n}}{\mu _{n+2}-\mu _{n+1}}}}$

E vale aproximadamente:

${\displaystyle \delta \approx 4,669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,821\ 578\,439,\ldots }$ (sequência A006890 na OEIS)

A segunda constante de Feigenbaum define-se como o limite da razão entre duas distâncias sucessivas entre os ramos mais próximos de ${\displaystyle x_{m}}$ (o ponto de máximo da função ${\displaystyle f}$):

${\displaystyle \alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {d_{n}}{d_{n+1}}}}$

E vale aproximadamente:

${\displaystyle \alpha \approx 2,502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218\,478\ldots }$ (sequência A006891 na OEIS)

É notável verificar que estes períodos e as constantes de Feigenbaum são independentes da forma da função ${\displaystyle f(x)}$, desde que esta seja três vezes diferenciável e possua um único máximo local. Exemplos de funções com estas características são ${\displaystyle f(x)=x-x^{2}}$, ${\displaystyle f(x)=\operatorname {sen} (x)}$, etc.

Referências

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Feigenbaum Constant». MathWorld (em inglês) 
• Apresentação ppt sobre diagramas de Feigenbaum, Caos e Expoentes de Liapunov

• Portal da matemática