Corpo global

Na matemática, um corpo global é um de dois tipos de corpos (sendo o outro os corpos locais) que são caracterizados utilizando valorizações. Existem dois tipos de corpos globais:

• Corpo de números algébricos: Uma extensão finita de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Corpo de funções global: O corpo de funções de uma curva algébrica irredutível sobre um corpo finito, equivalentemente, uma extensão finita de ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$, o corpo de funções racionais em uma variável sobre o corpo finito com ${\displaystyle q=p^{n}}$ elementos.

Uma caracterização axiomática desses corpos por meio da teoria de valorização foi dada por Emil Artin e George Whaples na década de 1940.

Definição axiomática

Dizemos que o corpo ${\displaystyle K}$ é um corpo global quando existe um conjunto ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ de lugares (classes de equivalência de valores absolutos em ${\displaystyle K}$) tal que:

• Para cada elemento não nulo ${\displaystyle \alpha \in K}$, tem-se ${\displaystyle \vert \alpha \vert _{\mathfrak {p}}=1}$ para todos, exceto um número finito, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\mathfrak {M}}}$, e ${\displaystyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in {\mathfrak {M}}}\vert \alpha \vert _{\mathfrak {p}}=1}$
• Pelo menos um dos lugares em ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ é discreto com corpo residual finito ou arquimediano.

Definições formais

Apenas dois tipos de corpos satisfazem a definição axiomática:

Um corpo de números algébricos

Um corpo de números algébricos ${\displaystyle F}$ é uma extensão de corpo finita (e portanto algébrica) do corpo dos números racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Assim, ${\displaystyle F}$ é um corpo que contém ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e possui dimensão finita quando considerado como um espaço vetorial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

O corpo de funções de uma curva algébrica irredutível sobre um corpo finito

Um corpo de funções de uma variedade algébrica é o conjunto de todas as funções racionais naquela variedade. Numa curva algébrica irredutível (ou seja, uma variedade unidimensional ${\displaystyle V}$) sobre um corpo finito, definimos uma função racional num subconjunto afim aberto ${\displaystyle U}$ como a razão de dois polinômios no anel de coordenadas afim de ${\displaystyle U}$, e uma função racional em todo o ${\displaystyle V}$ consiste em tais dados locais que concordam nas interseções de subconjuntos afins abertos. Isto define tecnicamente as funções racionais em ${\displaystyle V}$ como sendo o corpo de frações do anel de coordenadas afim de qualquer subconjunto afim aberto, uma vez que todos esses subconjuntos são densos.

Analogias entre as duas classes de corpos globais

Existe um número de similaridades formais entre os dois tipos de corpos globais. Um corpo de qualquer um dos tipos tem a propriedade de que todos os seus completamentos são corpos localmente compactos (veja corpos locais). Todo corpo de qualquer um dos tipos pode ser realizado como o corpo de frações de um domínio de Dedekind no qual todo ideal não nulo tem índice finito. Em cada caso, tem-se a fórmula do produto para os elementos não nulos ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \prod _{v}|x|_{v}=1,}$

onde ${\displaystyle v}$ varia sobre todas as valorizações do corpo.

A analogia entre as duas espécies de corpos tem sido uma forte força motivadora na teoria algébrica dos números. A ideia de uma analogia entre corpos de números e superfícies de Riemann remonta a Richard Dedekind e Heinrich M. Weber no século XIX. A analogia mais rigorosa expressa pela ideia de 'corpo global', na qual o aspecto de uma superfície de Riemann como curva algébrica é mapeado para curvas definidas sobre um corpo finito, foi construída durante a década de 1930, culminando na hipótese de Riemann para curvas sobre corpos finitos resolvida por André Weil em 1940. A terminologia pode ser devida a Weil, que escreveu a sua obra Basic Number Theory (1967) em parte para desenvolver o paralelismo.

Geralmente é mais fácil trabalhar no caso de corpo de funções e então tentar desenvolver técnicas paralelas do lado do corpo de números. O desenvolvimento da Teoria de Arakelov e a sua exploração por Gerd Faltings na sua demonstração da conjectura de Mordell é um exemplo dramático. A analogia também influenciou no desenvolvimento da Teoria de Iwasawa e na Conjectura Principal. A prova do lema fundamental no Programa Langlands também fez uso de técnicas que reduziam o caso de corpos de números para o caso de corpos de funções.

Teoremas

Referências

Bibliografias