Diagrama de Lexis

Eixos e linhas de vida

O plano do diagrama é delimitado por eixos cartesianos ortogonais:

• Eixo horizontal (${\displaystyle t}$): Representa o fluxo do tempo histórico civil (datas de calendário), calibrado em anos fracionários contínuos;
• Eixo vertical (${\displaystyle x}$): Representa a idade exata decorrida desde o evento de origem (geralmente o nascimento), estendendo-se de ${\displaystyle x=0}$ até idades avançadas (${\displaystyle x=\omega }$).

A trajetória existencial de qualquer indivíduo é traçada como uma linha de vida (ou segmento biográfico). Dado que para cada ano cronológico que decorre no calendário (${\displaystyle \Delta t=1}$) o indivíduo envelhece exatamente um ano de vida (${\displaystyle \Delta x=1}$), a inclinação dessa trajetória é invariavelmente unitária:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=1}$

Todas as linhas de vida avançam no plano como segmentos de retas paralelas inclinadas a ${\displaystyle 45^{\circ }}$ em relação aos eixos. A linha nasce no ponto ${\displaystyle (t_{0},0)}$, correspondente à data exata de nascimento do indivíduo, e cessa abruptamente no ponto ${\displaystyle (t_{m},x_{m})}$, assinalando a ocorrência do óbito (ou a censura, caso a pessoa emigre ou o período de observação termine).

Quadrados e triângulos de Lexis

A malha ortogonal formada pelas linhas de anos inteiros (${\displaystyle t,t+1,t+2,\ldots }$) e idades inteiras (${\displaystyle x,x+1,x+2,\ldots }$) quadricula o plano em unidades quadradas fundamentais ${\displaystyle [t,t+1]\times [x,x+1]}$, denominadas quadrados de Lexis.

A linha diagonal de corte da coorte que parte de ${\displaystyle (t,x)}$ divide cada quadrado unitário em dois triângulos retângulos idênticos com propriedades observacionais distintas:

• Triângulo inferior (${\displaystyle \triangle _{1}}$): Reúne os eventos que ocorrem entre as datas ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle t+1}$, na idade completada ${\displaystyle x}$, de indivíduos pertencentes à coorte nascida no ano civil ${\displaystyle c=t-x}$. Tais pessoas celebraram seu aniversário de idade ${\displaystyle x}$ durante o próprio ano corrente ${\displaystyle t}$;
• Triângulo superior (${\displaystyle \triangle _{2}}$): Reúne os eventos que ocorrem entre as datas ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle t+1}$, na mesma idade completada ${\displaystyle x}$, porém experimentados por indivíduos pertencentes à coorte anterior ${\displaystyle c=t-x-1}$. Tais pessoas celebraram seu aniversário de idade ${\displaystyle x}$ no ano civil anterior (${\displaystyle t-1}$) e atingirão a idade ${\displaystyle x+1}$ ao longo do ano civil ${\displaystyle t}$.

Taxa central versus probabilidade

O diagrama de Lexis é decisivo para evitar confusões metodológicas entre taxas de incidência (taxas centrais) e probabilidades acumuladas de transição:

• Taxa específica de mortalidade (${\displaystyle m_{x}}$): Mede a velocidade de ocorrência dos eventos em relação ao tempo vivido. É obtida pela razão entre os óbitos observados dentro de uma área fechada do diagrama (quadrado ou retângulo) e a massa total de anos-pessoa de exposição ao risco vividos pela população nessa mesma área:

${\displaystyle m_{x}={\frac {D_{[x,x+1]}^{t}}{PY_{[x,x+1]}^{t}}}}$

• Probabilidade de morte (${\displaystyle q_{x}}$): Mede o risco de um indivíduo que atingiu com vida a idade exata ${\displaystyle x}$ vir a falecer antes de alcançar a idade exata ${\displaystyle x+1}$. Corresponde à contagem de trajetórias que intersectam o segmento horizontal de fronteira na idade ${\displaystyle x}$ e que se interrompem (óbitos) antes de tocar a fronteira superior de idade ${\displaystyle x+1}$:

${\displaystyle q_{x}={\frac {D_{x}(c)}{l_{x}(c)}}}$

Compatibilização de censos e registros civis

Em demografia aplicada, os censos fornecem o número de pessoas vivas em um determinado instante (uma linha vertical no diagrama, correspondente à data censitária de referência). Já o registro civil registra os óbitos continuamente (pontos dispersos nas superfícies dos triângulos). O diagrama permite aos estatísticos utilizar fórmulas de aproximação linear (como as fórmulas de separação de Lexis e de Reed-Merrell) para imputar parcelas proporcionais de anos-pessoa a cada triângulo e montar tábuas completas e abreviadas de mortalidade sem duplicidades ou omissões amostrais.