Fecho

Em topologia, o fecho ou aderência de um subespaço topológico S de X é o menor fechado de X que contém S.

Definição

O fecho de um conjunto ${\displaystyle X}$, denotado por ${\displaystyle {\overline {X}}}$, é o conjunto formado pelos seus pontos aderentes.

Um conjunto é considerado fechado se é igual ao seu fecho. Ou seja, quando contém todos os seus pontos aderentes.

Propriedades

• O fecho de S é a intersecção de todos os fechados que contêm S;
• O fecho de um conjunto X (${\displaystyle {\overline {X}}}$) é obtido acrescentando-se a X os seus pontos de acumulação, ou seja, é a união de dois conjuntos, X e ${\displaystyle X'}$ (=conjunto dos pontos aderentes): ${\displaystyle {\overline {X}}=X\cup X'}$ . Por exemplo, se tomarmos o conjunto aberto ${\displaystyle X=\left(0,3\right)}$, então seu fecho será o conjunto fechado ${\displaystyle {\overline {X}}=X\cup X'=\left[0,3\right]}$.

O fecho de S é a união de S com a sua fronteira.

Exemplos

• O fecho do conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dos números racionais é a reta ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Também o fecho do conjunto ${\displaystyle (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )}$ dos números irracionais é ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e ${\displaystyle (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )}$ não são conjuntos fechados.
• O fecho de uma bola aberta é uma bola fechada.

Referências

Bibliografia

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 

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