Forma normal de Frobenius

Em álgebra linear, a forma normal de Frobenius ou forma canônica racional de uma matriz quadrada ${\displaystyle A}$ com entradas em um corpo ${\displaystyle F}$ é uma forma canônica para matrizes obtida por conjugação por matrizes invertíveis sobre ${\displaystyle F}$. A forma reflete uma decomposição mínima do espaço vetorial em subespaços que são cíclicos para ${\displaystyle A}$ (isto é, gerados por algum vetor e suas imagens repetidas sob ${\displaystyle A}$). Como apenas uma forma normal pode ser alcançada a partir de uma dada matriz (daí o "canônica"), uma matriz ${\displaystyle B}$ é semelhante a ${\displaystyle A}$ se e somente se tem a mesma forma canônica racional que ${\displaystyle A}$. Como esta forma pode ser encontrada sem quaisquer operações que possam mudar ao estender o corpo ${\displaystyle F}$ (daí o "racional"), notavelmente sem fatorar polinômios, isso mostra que se duas matrizes são semelhantes não muda com extensões de corpo. A forma recebe o nome do matemático alemão Ferdinand Georg Frobenius.

Alguns autores usam o termo forma canônica racional para uma forma um pouco diferente, mais propriamente chamada de forma canônica racional primária. Em vez de decompor em um número mínimo de subespaços cíclicos, a forma primária decompõe em um número máximo de subespaços cíclicos. Ela também é definida sobre F, mas tem propriedades um pouco diferentes: encontrar a forma requer fatoração de polinômios e, como consequência, a forma canônica racional primária pode mudar quando a mesma matriz é considerada sobre um corpo de extensão de F. Este artigo trata principalmente da forma que não requer fatoração e menciona explicitamente "primária" quando a forma que usa fatoração é pretendida.

Motivação

Ao tentar descobrir se duas matrizes quadradas A e B são semelhantes, uma abordagem é tentar, para cada uma delas, decompor o espaço vetorial o máximo possível em uma soma direta de subespaços estáveis e comparar as respectivas ações nesses subespaços. Por exemplo, se ambas são diagonalizáveis, então se pode tomar a decomposição em autoespaços (para os quais a ação é tão simples quanto possível, a saber, por um escalar), e então a semelhança pode ser decidida comparando autovalores e suas multiplicidades. Embora na prática esta seja frequentemente uma abordagem bastante esclarecedora, há várias desvantagens nela como método geral. Primeiro, requer encontrar todos os autovalores, digamos como raízes do polinômio característico, mas pode não ser possível dar uma expressão explícita para eles. Segundo, um conjunto completo de autovalores pode existir apenas em uma extensão do corpo sobre o qual se está trabalhando, e então não se obtém uma prova de semelhança sobre o corpo original. Finalmente, A e B podem não ser diagonalizáveis mesmo sobre esse corpo maior, caso em que se deve usar uma decomposição em autoespaços generalizados e possivelmente em blocos de Jordan.

Mas obter uma decomposição tão fina não é necessário para apenas decidir se duas matrizes são semelhantes. A forma canônica racional baseia-se em usar uma decomposição em soma direta em subespaços estáveis que são tão grandes quanto possível, mas ainda permitindo uma descrição muito simples da ação em cada um deles. Esses subespaços devem ser gerados por um único vetor não nulo v e todas as suas imagens por aplicação repetida do operador linear associado à matriz; tais subespaços são chamados de subespaços cíclicos (por analogia com subgrupos cíclicos) e são claramente estáveis sob o operador linear. Uma base de tal subespaço é obtida tomando v e suas imagens sucessivas enquanto forem linearmente independentes. A matriz do operador linear com respeito a tal base é a matriz companheira de um polinômio mônico; este polinômio (o polinômio mínimo do operador restrito ao subespaço, cuja noção é análoga à de ordem de um subgrupo cíclico) determina a ação do operador no subespaço cíclico a menos de isomorfismo, e é independente da escolha do vetor v que gera o subespaço.

Uma decomposição em soma direta em subespaços cíclicos sempre existe, e encontrá-la não requer fatorar polinômios. No entanto, é possível que subespaços cíclicos permitam uma decomposição como soma direta de subespaços cíclicos menores (essencialmente pelo teorema chinês do resto). Portanto, apenas ter para ambas as matrizes alguma decomposição do espaço em subespaços cíclicos, e conhecer os polinômios mínimos correspondentes, não é em si suficiente para decidir sua semelhança. Uma condição adicional é imposta para garantir que para matrizes semelhantes se obtenham decomposições em subespaços cíclicos que coincidem exatamente: na lista de polinômios mínimos associados, cada um deve dividir o seguinte (e o polinômio constante 1 é proibido para excluir subespaços cíclicos triviais). A lista resultante de polinômios é chamada de fatores invariantes de (o K[X]-módulo definido por) a matriz, e duas matrizes são semelhantes se e somente se têm listas idênticas de fatores invariantes. A forma canônica racional de uma matriz A é obtida expressando-a em uma base adaptada a uma decomposição em subespaços cíclicos cujos polinômios mínimos associados são os fatores invariantes de A; duas matrizes são semelhantes se e somente se têm a mesma forma canônica racional.

Exemplo

Considere a seguinte matriz A, sobre Q:

${\displaystyle \scriptstyle A={\begin{pmatrix}-1&3&-1&0&-2&0&0&-2\\-1&-1&1&1&-2&-1&0&-1\\-2&-6&4&3&-8&-4&-2&1\\-1&8&-3&-1&5&2&3&-3\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&2&0&0&0\\0&0&0&0&4&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

A tem polinômio mínimo ${\displaystyle \mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1}$, de modo que a dimensão de um subespaço gerado pelas imagens repetidas de um único vetor é no máximo 6. O polinômio característico é ${\displaystyle \chi =X^{8}-X^{7}-5X^{6}+2X^{5}+10X^{4}+2X^{3}-7X^{2}-5X-1}$, que é um múltiplo do polinômio mínimo por um fator ${\displaystyle X^{2}-X-1}$. Sempre existem vetores tais que o subespaço cíclico que eles geram tem o mesmo polinômio mínimo que o operador tem em todo o espaço; de fato, a maioria dos vetores terá essa propriedade, e neste caso o primeiro vetor da base canônica ${\displaystyle e_{1}}$ o faz: os vetores ${\displaystyle A^{k}(e_{1})}$ para ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,5}$ são linearmente independentes e geram um subespaço cíclico com polinômio mínimo ${\displaystyle \mu }$. Existem subespaços estáveis complementares (de dimensão 2) a este subespaço cíclico, e o espaço gerado pelos vetores ${\displaystyle v=(3,4,8,0,-1,0,2,-1)^{\top }}$ e ${\displaystyle w=(5,4,5,9,-1,1,1,-2)^{\top }}$ é um exemplo. De fato, tem-se ${\displaystyle A\cdot v=w}$, então o subespaço complementar é um subespaço cíclico gerado por ${\displaystyle v}$; ele tem polinômio mínimo ${\displaystyle X^{2}-X-1}$. Como ${\displaystyle \mu }$ é o polinômio mínimo de todo o espaço, é claro que ${\displaystyle X^{2}-X-1}$ deve dividir ${\displaystyle \mu }$ (e é facilmente verificado que divide), e encontramos os fatores invariantes ${\displaystyle X^{2}-X-1}$ e ${\displaystyle \mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1}$ de A. Então a forma canônica racional de A é a matriz diagonal em blocos com as matrizes companheiras correspondentes como blocos diagonais, a saber

${\displaystyle \scriptstyle C=\left({\begin{array}{cc|cccccc}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&-1\\0&0&1&0&0&0&0&-4\\0&0&0&1&0&0&0&-4\\0&0&0&0&1&0&0&2\\0&0&0&0&0&1&0&4\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{array}}\right).}$

Uma base na qual esta forma é atingida é formada pelos vetores ${\displaystyle v,w}$ acima, seguidos por ${\displaystyle A^{k}(e_{1})}$ para ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,5}$; explicitamente, isso significa que para

${\displaystyle \scriptstyle P={\begin{pmatrix}3&5&1&-1&0&0&-4&0\\4&4&0&-1&-1&-2&-3&-5\\8&5&0&-2&-5&-2&-11&-6\\0&9&0&-1&3&-2&0&0\\-1&-1&0&0&0&1&-1&4\\0&1&0&0&0&0&-1&1\\2&1&0&1&-1&0&2&-6\\-1&-2&0&0&1&-1&4&-2\end{pmatrix}}}$,

tem-se ${\displaystyle A=PCP^{-1}.}$

Caso geral e teoria

Fixe um corpo base F e um espaço vetorial de dimensão finita V sobre F. Dado um polinômio P ∈ F[X], associa-se a ele uma matriz companheira C_P cujo polinômio característico e polinômio mínimo são ambos iguais a P.

Teorema: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo F, e A uma matriz quadrada sobre F. Então V (visto como um F[X]-módulo com a ação de X dada por A) admite um isomorfismo de F[X]-módulos

V ≅ F[X]/f₁ ⊕ … ⊕ F[X]/f_k

onde os f_i ∈ F[X] podem ser tomados como polinômios mônicos de grau positivo (de modo que são não-unidades em F[X]) que satisfazem as relações

f₁ | f₂ | … | f_k

(onde "a | b" é notação para "a divide b"); com essas condições, a lista de polinômios f_i é única.

Esboço da prova: Aplique o teorema da estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais a V, vendo-o como um F[X]-módulo. O teorema da estrutura fornece uma decomposição em fatores cíclicos, cada um dos quais é um quociente de F[X] por um ideal próprio; o ideal zero não pode estar presente, pois o módulo livre resultante seria de dimensão infinita como espaço vetorial F, enquanto V é de dimensão finita. Para os polinômios f_i, toma-se então os únicos geradores mônicos dos respectivos ideais, e como o teorema da estrutura garante a contenção de todo ideal no ideal precedente, obtêm-se as condições de divisibilidade para os f_i. Veja [DF] para detalhes.

Dada uma matriz quadrada arbitrária, os divisores elementares usados na construção da forma normal de Jordan não existem sobre F[X], então os fatores invariantes f_i como dados acima devem ser usados em vez disso. O último desses fatores f_k é então o polinômio mínimo, que todos os fatores invariantes, portanto, dividem, e o produto dos fatores invariantes dá o polinômio característico. Observe que isso implica que o polinômio mínimo divide o polinômio característico (o que é essencialmente o teorema de Cayley-Hamilton), e que todo fator irredutível do polinômio característico também divide o polinômio mínimo (possivelmente com multiplicidade menor).

Para cada fator invariante f_i, toma-se sua matriz companheira C_fi, e a matriz diagonal em blocos formada a partir desses blocos produz a forma canônica racional de A. Quando o polinômio mínimo é idêntico ao polinômio característico (o caso k = 1), a forma normal de Frobenius é a matriz companheira do polinômio característico. Como a forma canônica racional é unicamente determinada pelos únicos fatores invariantes associados a A, e esses fatores invariantes são independentes da base, segue-se que duas matrizes quadradas A e B são semelhantes se e somente se têm a mesma forma canônica racional.

Uma forma normal racional generalizando a forma normal de Jordan

A forma normal de Frobenius não reflete nenhuma forma de fatoração do polinômio característico, mesmo se ela existir sobre o corpo base F. Isso implica que ela é invariante quando F é substituído por um corpo diferente (desde que contenha as entradas da matriz original A). Por outro lado, isso torna a forma normal de Frobenius bastante diferente de outras formas normais que dependem de fatorar o polinômio característico, notavelmente a forma diagonal (se A é diagonalizável) ou, mais geralmente, a forma normal de Jordan (se o polinômio característico se decompõe em fatores lineares). Por exemplo, a forma normal de Frobenius de uma matriz diagonal com entradas diagonais distintas é apenas a matriz companheira de seu polinômio característico.

Há outra maneira de definir uma forma normal que, como a forma normal de Frobenius, é sempre definida sobre o mesmo corpo F que A, mas que reflete uma possível fatoração do polinômio característico (ou equivalentemente do polinômio mínimo) em fatores irredutíveis sobre F, e que se reduz à forma normal de Jordan quando essa fatoração contém apenas fatores lineares (correspondentes a autovalores). Esta forma é às vezes chamada de forma normal de Jordan generalizada, ou forma canônica racional primária. Ela se baseia no fato de que o espaço vetorial pode ser canonicamente decomposto em uma soma direta de subespaços estáveis correspondentes aos fatores irredutíveis distintos P do polinômio característico (como afirmado pelo lemme des noyaux), onde o polinômio característico de cada somando é uma potência do P correspondente. Esses somandos podem ser ainda decompostos, de forma não canônica, como uma soma direta de F[x]-módulos cíclicos (como é feito para a forma normal de Frobenius acima), onde o polinômio característico de cada somando ainda é uma potência (geralmente menor) de P. A forma canônica racional primária é uma matriz diagonal em blocos correspondente a tal decomposição em módulos cíclicos, com uma forma particular chamada bloco de Jordan generalizado nos blocos diagonais, correspondente a uma escolha particular de uma base para os módulos cíclicos. Este bloco de Jordan generalizado é ele próprio uma matriz em blocos da forma

${\displaystyle \scriptstyle {\begin{pmatrix}C&0&\cdots &0\\U&C&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &U&C\end{pmatrix}}}$

onde C é a matriz companheira do polinômio irredutível P, e U é uma matriz cuja única entrada não nula é um 1 no canto superior direito. Para o caso de um fator irredutível linear P = x − λ, esses blocos se reduzem a entradas únicas C = λ e U = 1 e, encontra-se um bloco de Jordan (transposto). Em qualquer bloco de Jordan generalizado, todas as entradas imediatamente abaixo da diagonal principal são 1. Uma base do módulo cíclico que dá origem a esta forma é obtida escolhendo um vetor gerador v (um que não é aniquilado por P^k−1(A), onde o polinômio mínimo do módulo cíclico é P^k), e tomando como base

${\displaystyle v,A(v),A^{2}(v),\ldots ,A^{d-1}(v),~P(A)(v),A(P(A)(v)),\ldots ,A^{d-1}(P(A)(v)),~P^{2}(A)(v),\ldots ,~P^{k-1}(A)(v),\ldots ,A^{d-1}(P^{k-1}(A)(v))}$

onde d = deg P.

Ver também

• Forma normal de Smith

Referências

Bibliografia

• [DF] David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd Edition, John Wiley & Sons. pp. 442, 446, 452-458. ISBN 0-471-36857-1.

Ligações externas

• Rational Canonical Form (Mathworld)