Homologia singular

Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos ${H_{p}^{s} (X)}_{p \in ℕ}$ , e a cada aplicação contínua $f : X \to Y$ , entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos $f_{*, p} : H_{p}^{s} (X) \to H_{p}^{s} (Y)$ $(p \in ℕ)$ .

Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante $H o m$ entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em $ℕ$ e os homomorfismos de grupos graduados em $ℕ$ . É conveniente também, dado um espaço topológico $X$ e um subespaço $A \subset X$ , definir a homologia singular relativa $H (X, A)$ .

Definições associadas

Seja $X$ um espaço topológico, $Δ_{p}$ o simplexo padrão p-dimensional, isto é;

$Δ_{p} = {(x_{1}, ..., x_{p}) \in ℝ^{p} | \sum_{i = 1}^{p} x_{i} \leq 1} .$

Note que, ${e_{1}, ..., e_{p}}$ , a base canônica do $ℝ^{p}$ também é o conjunto dos pontos extremais do convexo $Δ_{p}$ .

Sejam também, para $1 \leq j < p$ ,

F_{i}^{p} = [e_{1}, ..., \hat{e_{i}}, ..., e_{p - 1}] : ℝ^{p - 1} \to ℝ^{p}

,

a aplicação linear que leva $e_{i}$ em $e_{i}$ , para $i < j$ , e $e_{i}$ em $e_{i + 1}$ , para $j \leq i < p$ .

$F_{i}^{p}$ é o chamado i-ésimo operador face de $Δ_{p}$ .

Definimos o p-ésimo operador bordo sobre $Δ_{p}$ como

$\partial_{p} : Δ_{p - 1} \to Δ_{p}$ dada por $\partial_{p} (x) = \sum_{i = 1}^{p} (- 1)^{i} F_{i}^{p} (x)$ .

Construção do complexo singular

Definimos um p-simplexo singular de $X$ como uma aplicação contínua

σ : Δ_{p} \to X

.

Definimos para $p \geq 0$ o p-ésimo grupo singular de $X$ , $G_{p}^{s} (X)$ , como sendo o grupo abeliano livre gerado pelos p-simplexos singulares de $X$ . Note que podemos definir também $\partial_{p}$ agindo sobre $G_{p}^{s} (X)$ . Podemos escrever um elemento qualquer de $G_{p}^{s} (X)$ como $\sum_{i = 1}^{N} c_{i} σ_{i}$ , onde os $σ_{i}$ 's são p-simplexos singulares de $X$ , e os $c_{i}$ 's são inteiros não-nulos. Definimos $\partial_{p} (\sum_{i = 1}^{N} c_{i} σ_{i})$ por $\sum_{i = 1}^{N} c_{i} \partial_{p} (σ_{i})$ .

Portanto, $\partial_{p} : G_{p}^{s} (X) \to G_{p - 1}^{s} (X)$ está bem definida.

Seja $p \in ℕ$ . Chamamos de $N u c (\partial_{p})$ de grupo dos p-ciclos singulares de X, que será denotado por $Z_{p}^{s} (X)$ . De forma análoga, diremos que $I m (\partial_{p + 1})$ é o grupo dos p-bordos singulares de X, que será denotado por $B_{p}^{s} (X)$ . É fácil mostrar que $\partial_{p} \partial_{p - 1} = 0$ , e que portanto, $𝒮 (X) = {(G_{p}^{s} (X), \partial_{p})}_{p \in ℕ}$ define um complexo de cadeias, a que chamaremos de complexo de cadeias singulares associado ao espaço topológico $X$ Por definição, o p-ésimo grupo de Homologia de $𝒮 (X)$ é grupo $H_{p}^{s} (X) = Z_{p}^{s} (X) / B_{q}^{s} (X)$ .