Grupo especial unitário

Representação fundamental

Na literatura de física, é comum identificar a álgebra de Lie com o espaço das matrizes hermitianas (em vez das skew-hermitianas) de traço zero. Ou seja, a álgebra de Lie dos físicos difere por um fator de ${\displaystyle i}$ da dos matemáticos. Com essa convenção, pode-se então escolher geradores T_a que são matrizes complexas n × n sem traço hermitianas, onde: $${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$$ onde os f são as constantes de estrutura e são antissimétricas em todos os índices, enquanto os coeficientes d são simétricos em todos os índices.

Como consequência, o comutador é: $${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$$ e o anticomutador correspondente é: $${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$$

O fator de i na relação de comutação surge da convenção da física e não está presente quando se usa a convenção dos matemáticos.

A condição de normalização convencional é $${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$$

Os geradores satisfazem a identidade de Jacobi: $${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$$

Por convenção, na literatura de física os geradores ${\displaystyle T_{a}}$ são definidos como as matrizes complexas hermitianas sem traço com um fator 1/2: para SU(2), os geradores são escolhidos como ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{1}}$⁠, ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{2}}$⁠, ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{3}}$ onde ${\displaystyle \sigma _{a}}$ são as matrizes de Pauli, enquanto para o caso de SU(3) define-se ${\displaystyle T_{a}={\tfrac {1}{2}}\lambda _{a}}$ onde ${\displaystyle \lambda _{a}}$ são as matrizes de Gell-Mann. Com essas definições, os geradores satisfazem a seguinte condição de normalização: $${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$$

Representação adjunta

Na representação adjunta de dimensão (n² − 1), os geradores são representados por matrizes (n² − 1) × (n² − 1), cujos elementos são definidos pelas próprias constantes de estrutura: $${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$$

Difeomorfismo com a 3-esfera S³

Se considerarmos ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ como um par em ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ onde ${\displaystyle \alpha =a+bi}$ e ⁠${\displaystyle \beta =c+di}$⁠, então a equação ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ torna-se $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$$

Esta é a equação da 3-esfera S³. Isso também pode ser visto usando uma imersão: o mapa $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$ onde ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ denota o conjunto das matrizes complexas 2 por 2, é um mapa linear real injetivo (considerando ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ difeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ e ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ difeomorfo a ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$⁠). Portanto, a restrição de φ à 3-esfera (pois o módulo é 1), denotada S³, é uma imersão da 3-esfera em uma subvariedade compacta de ⁠${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$⁠, a saber, φ(S³) = SU(2).

Portanto, como uma variedade, S³ é difeomorfa a SU(2), o que mostra que SU(2) é simplesmente conexo e que S³ pode ser dotada da estrutura de um grupo de Lie compacto e conexo.

1. 1. 1. Isomorfismo com o grupo dos versores

Os quaterniões de norma 1 são chamados de versores, pois geram o grupo de rotação SO(3): A matriz SU(2): $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$$ pode ser mapeada no quaternião $${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$$

Este mapa é de fato um isomorfismo de grupos. Além disso, o determinante da matriz é a norma quadrada do quaternião correspondente. Claramente, qualquer matriz em SU(2) é desta forma e, como tem determinante 1, o quaternião correspondente tem norma 1. Assim, SU(2) é isomorfo ao grupo dos versores.

Relação com rotações espaciais

Cada versor está naturalmente associado a uma rotação espacial em 3 dimensões, e o produto de versores está associado à composição das rotações associadas. Além disso, cada rotação surge de exatamente dois versores dessa maneira. Em resumo: existe um homomorfismo sobrejetor 2:1 de SU(2) para o SO(3); consequentemente, SO(3) é isomorfo ao grupo quociente SU(2)/{±I}, a variedade subjacente a SO(3) é obtida identificando pontos antípodas da 3-esfera S³, e SU(2) é o recobrimento universal de SO(3).

Álgebra de Lie

A álgebra de Lie de SU(2) consiste em matrizes 2 × 2 skew-hermitianas com traço zero. Explicitamente, isso significa $${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$$

A álgebra de Lie é então gerada pelas seguintes matrizes, $${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$$ que têm a forma do elemento geral especificado acima.

Isso também pode ser escrito como ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$ usando as matrizes de Pauli.

Elas satisfazem as relações de quaternião ⁠${\displaystyle u_{2}u_{3}=-u_{3}u_{2}=u_{1}}$⁠, ⁠${\displaystyle u_{3}u_{1}=-u_{1}u_{3}=u_{2}}$⁠ e ⁠${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}u_{1}=u_{3}}$⁠. O colchete de comutação é, portanto, especificado por $${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$$

Os geradores acima estão relacionados às matrizes de Pauli por ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1},u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$ e ⁠${\displaystyle mu_{3}=+i\ \sigma _{3}}$⁠. Esta representação é rotineiramente usada na mecânica quântica para representar o spin de partículas fundamentais como os elétrons. Eles também servem como vetores unitários para a descrição das nossas 3 dimensões espaciais na gravitação quântica em loop. Eles também correspondem às portas Pauli X, Y e Z, que são geradores padrão para as portas de um único qubit, correspondendo a rotações 3D em torno dos eixos da esfera de Bloch.

A álgebra de Lie serve para elaborar a teoria das representações de SU(2).

Topologia

O grupo SU(3) é um grupo de Lie compacto e simplesmente conexo. Sua estrutura topológica pode ser entendida observando que SU(3) age transitivamente na esfera unitária ${\displaystyle S^{5}}$ em ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$⁠. O estabilizador de um ponto arbitrário na esfera é isomorfo a SU(2), que topologicamente é uma 3-esfera. Segue-se então que SU(3) é um fibrado sobre a base S⁵ com fibra S³. Como as fibras e a base são simplesmente conexas, a simples conexidade de SU(3) segue por meio de um resultado topológico padrão (a sequência exata longa de grupos de homotopia para fibrados).

Os fibrados SU(2) sobre S⁵ são classificados por ${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$, pois qualquer fibrado desse tipo pode ser construído considerando fibrados triviais nos dois hemisférios ${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$ e observando a função de transição em sua interseção, que é uma cópia de S⁴, então$${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$$

Então, todas essas funções de transição são classificadas por classes de homotopia de mapas$${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$$e como ${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$ em vez de ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$⁠, SU(3) não pode ser o fibrado trivial SU(2) × S⁵ ≅ S³ × S⁵ e, portanto, deve ser o único fibrado não trivial (torcido). Isso pode ser mostrado observando a sequência exata longa induzida nos grupos de homotopia.

Teoria da representação

A teoria da representação de SU(3) é bem compreendida. Descrições dessas representações, do ponto de vista de sua álgebra de Lie complexificada ⁠${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$⁠, podem ser encontradas nos artigos sobre representações de álgebra de Lie ou coeficientes de Clebsch–Gordan para SU(3).

1. 1. 1. Álgebra de Lie ===

Os geradores, T, da álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ de SU(3) na representação definidora (da física, hermitiana) são$${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$$onde λ_a, as matrizes de Gell-Mann, são o análogo em SU(3) das matrizes de Pauli para SU(2):$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Esses λ_a geram todas as matrizes hermitianas H sem traço da álgebra de Lie, conforme necessário. Observe que λ₂, λ₅, λ₇ são antissimétricas.

Eles obedecem às relações$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$$ou, equivalentemente,$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$$

Os f são as constantes de estrutura da álgebra de Lie, dadas por$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$$enquanto todos os outros f_abc não relacionados a estes por permutação são zero. Em geral, eles se anulam a menos que contenham um número ímpar de índices do conjunto {2, 5, 7}.

Os coeficientes simétricos d assumem os valores$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$$

Eles se anulam se o número de índices do conjunto {2, 5, 7} for ímpar.

Um elemento genérico do grupo SU(3) gerado por uma matriz hermitiana H 3 × 3 sem traço, normalizada como tr(H²) = 2, pode ser expresso como um polinômio matricial de segunda ordem em H:$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$$onde$${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$$

Exemplo

Um exemplo importante desse tipo de grupo é o grupo modular de Picard ${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$ que age (projetivamente) no espaço hiperbólico complexo de dimensão dois, da mesma forma que ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$ age (projetivamente) no espaço hiperbólico real de dimensão dois. Em 2005, Gábor Francsics e Peter Lax calcularam um domínio fundamental explícito para a ação desse grupo em HC².

Um outro exemplo é ⁠${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$⁠, que é isomorfo a ⁠${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$⁠.