Função suave

Na análise matemática e topologia diferencial, as classes de diferenciabilidade são famílias de funções com certas propriedades quanto à sua continuidade e de suas derivadas.

A classe das funções suaves corresponde àquelas funções que possuem derivadas de todas as ordens.

Definição para funções reais de uma variável

Seja ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ um função com domínio ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$, então:

• ${\displaystyle f}$ é dita ser de classe ${\displaystyle C^{0}(D,\mathbb {R} )}$ se for uma função contínua.
• ${\displaystyle f}$ é dita ser de classe ${\displaystyle C^{1}(D,\mathbb {R} )}$ se sua primeira derivada for uma função contínua.
• ${\displaystyle f}$ é dita ser de classe ${\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} )}$ se sua n-ésima derivada for uma função contínua.
• ${\displaystyle f}$ é dita ser suave ou de classe ${\displaystyle C^{\infty }(D,\mathbb {R} )}$ se for de classe ${\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} )}$ para todo ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle f}$ é dita ser analítica ou de classe ${\displaystyle C^{\omega }(D,\mathbb {R} )}$ se puder ser escrita como uma série de Taylor em uma vizinhança de cada ponto de seu domínio. Toda função analítica é suave.

Definições para funções de várias variáveis

Seja ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{m}}$ um função com domínio ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle f}$ é dita ser de classe ${\displaystyle C^{0}(D,\mathbb {R} ^{n})}$ se for uma função contínua.
• ${\displaystyle f}$ é dita ser de classe ${\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} ^{n})}$ se todas as suas derivadas parciais de ordem até ${\displaystyle n}$ forem funções contínuas.
• ${\displaystyle f}$ é dita ser suave ou de classe ${\displaystyle C^{\infty }(D,\mathbb {R} ^{n})}$ se for de classe ${\displaystyle C^{n}(D,\mathbb {R} ^{n})}$ para todo ${\displaystyle n}$

Exemplos

A função

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{se }}x\geq 0,\\0&{\mbox{se }}x<0\end{cases}}}$

é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classe ${\displaystyle C^{0}}$ mas não de classe ${\displaystyle C^{1}}$.

A função

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {1/x}&{\mbox{se }}x\neq 0,\\0&{\mbox{se }}x=0\end{cases}}}$

é diferenciável, com derivada

${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}2x\sin {1/x}-\cos {1/x}&{\mbox{se }}x\neq 0,\\0&{\mbox{se }}x=0.\end{cases}}}$

Como o limite de ${\displaystyle \cos(1/x)}$ não existe quando ${\displaystyle x}$ se aproxima de zero, ${\displaystyle f'(x)}$ não é contínua na origem. Portanto, a função ${\displaystyle f}$ é diferenciável mas não é de classe C¹.

A função

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ se }}|x|<1,\\0&{\mbox{ caso contrario }}\end{cases}}}$

é suave, e portanto de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$, mas não é analítica, portanto não é de classe ${\displaystyle C^{\omega }}$. Ver artigo Exp(-1/x).

A função exponencial é analítica e, portanto, de classe ${\displaystyle C^{\omega }}$.

Ver também

• Difeomorfismo
• Concordância (tangência)

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