Teorema multinomial

Em matemática, o teorema multinomial, polinômio de Leibnitz, polinômio de Leibniz ou fórmula do multinômio de Newton é uma generalização do binômio de Newton.

Teorema

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.}$

A soma é feita sobre todas as possibilidades de índices inteiros não negativos k₁ até k_m tais que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{k_{i}}=n}$.

Os coeficientes multinomiais são definidos como:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$

Trinômio de Newton

A potência arbitrária de um trinômio pode ser obtida por um caso particular da fórmula do multinômio de Newton:

${\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{p=0}^{k}{\frac {n!}{(n-k)!(k-p)!p!}}a^{n-k}b^{k-p}c^{p}}$

Onde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ são números reais e n é um número natural.

Ver também

O Wikilivro Matemática elementar tem uma página intitulada Estudo de um trinômio elevado a um número qualquer

• Binômio de Newton
• Pirâmide de Pascal

Referências