Teoria dos modelos

Linguagens e assinaturas

Uma linguagem formal, frequentemente chamada de assinatura, especifica os símbolos não lógicos usados para descrever estruturas. Esses símbolos podem incluir constantes, funções e relações. Por exemplo, a linguagem usual dos anéis contém símbolos para adição, multiplicação, zero e um; já a linguagem da teoria da ordem pode conter um símbolo relacional para a ordem.

A distinção entre linguagem e estrutura é essencial. A linguagem fornece os símbolos; a estrutura fornece um domínio de objetos e interpreta cada símbolo da linguagem nesse domínio. A mesma linguagem pode ter muitas estruturas diferentes como interpretações.

Estruturas e satisfação

Uma estrutura para uma linguagem ${\displaystyle L}$ é composta por um domínio, ou universo, e por uma interpretação dos símbolos de ${\displaystyle L}$. As constantes são interpretadas como elementos do domínio; os símbolos de função, como funções sobre o domínio; e os símbolos de relação, como relações entre elementos do domínio.

Diz-se que uma estrutura satisfaz uma sentença quando a sentença é verdadeira nessa interpretação. Se ${\displaystyle M}$ é uma estrutura e ${\displaystyle \varphi }$ é uma sentença verdadeira em ${\displaystyle M}$, escreve-se usualmente ${\displaystyle M\models \varphi }$. Nesse caso, ${\displaystyle M}$ é chamado de modelo de ${\displaystyle \varphi }$.

Por exemplo, a sentença "existe um elemento cujo quadrado é igual a dois" é verdadeira na estrutura dos números reais com as operações usuais, mas falsa na estrutura dos números racionais com as mesmas operações. A diferença não está apenas na forma da sentença, mas na estrutura em que ela é interpretada.

Teorias

Uma teoria, no sentido lógico, é um conjunto de sentenças de uma linguagem formal. Uma estrutura é modelo de uma teoria quando satisfaz todas as sentenças dessa teoria. Em muitas situações, uma teoria é apresentada por meio de axiomas, como ocorre com a aritmética de Peano, a teoria dos grupos, a teoria dos corpos ou a teoria dos corpos algebricamente fechados.

Uma teoria é dita completa quando, para toda sentença de sua linguagem, ou a sentença ou sua negação é consequência da teoria. Isso não significa necessariamente que a teoria determine um único modelo até isomorfismo; teorias completas podem ter modelos não isomorfos, especialmente em cardinalidades diferentes.

Teorema da compacidade

O teorema da compacidade afirma que um conjunto de sentenças de primeira ordem tem um modelo se, e somente se, todo subconjunto finito desse conjunto tem um modelo. Esse resultado é uma das ferramentas centrais da teoria de modelos, pois permite construir modelos globais a partir da satisfatibilidade de partes finitas de uma teoria.

A compacidade mostra uma característica importante da lógica de primeira ordem: certas propriedades infinitárias não podem ser plenamente controladas por axiomas de primeira ordem. O teorema também é usado para demonstrar a existência de modelos não padrão de teorias familiares, como a aritmética de Peano.

Teoremas de Löwenheim-Skolem

Os teoremas de Löwenheim-Skolem tratam da existência de modelos de diferentes cardinalidades. Em linhas gerais, eles mostram que, sob hipóteses adequadas, uma teoria de primeira ordem com modelo infinito possui modelos de várias cardinalidades.

O teorema descendente de Löwenheim-Skolem garante a existência de subestruturas elementares menores, enquanto o teorema ascendente garante extensões elementares maiores. Esses resultados explicam por que a lógica de primeira ordem não consegue, sozinha, caracterizar de modo categórico muitas estruturas infinitas importantes, como os números naturais ou os números reais.

Equivalência elementar e isomorfismo

Duas estruturas são elementarmente equivalentes quando satisfazem exatamente as mesmas sentenças de uma linguagem. Estruturas isomorfas são sempre elementarmente equivalentes, mas a recíproca não vale em geral: duas estruturas podem satisfazer as mesmas sentenças de primeira ordem sem serem isomorfas.

Essa distinção é uma das razões pelas quais a teoria de modelos é importante para os fundamentos da matemática. Ela permite separar aquilo que uma linguagem formal consegue expressar daquilo que depende de propriedades externas à linguagem escolhida.

Subestruturas e extensões elementares

Uma subestrutura elementar é uma subestrutura que preserva a verdade de todas as fórmulas de primeira ordem com parâmetros em seu domínio. De modo correspondente, uma extensão elementar é uma estrutura maior que preserva as propriedades elementares da estrutura original.

O critério de Tarski-Vaught é uma ferramenta usada para reconhecer quando uma subestrutura é elementar. Subestruturas e extensões elementares aparecem em construções centrais da teoria de modelos, incluindo diagramas, cadeias elementares, ultraprodutos e modelos saturados.