Trocoide

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Trocoide, em geometria, é o plano da curva descrito por um ponto ligado a um Círculo gerador, que rola sobre uma guia linear de forma tangencial, sem escorregar. A palavra vem da raiz grega trokos (roda) e foi um termo inventado por Gilles Personne de Roberval.

Descrição geral

Uma abordagem mais geral definiria um trocóide como o locus de um ponto ${\displaystyle (x,y)}$ orbitando a uma razão constante em torno de um eixo localizado em ${\displaystyle (x',y')}$,

${\displaystyle x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,}$

em qual eixo está sendo transladado no plano x-y a uma taxa constante em uma linha reta,

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}}$

ou um caminho circular (outra órbita) ao redor ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ (o caso hipotrocoide/epitrocoide),

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}}$

A proporção das taxas de movimento e se o eixo móvel se traduz em um caminho reto ou circular determina a forma do trocóide. No caso de um caminho reto, uma rotação completa coincide com um período de um local periódico (repetitivo). No caso de um caminho circular para o eixo móvel, o locus é periódico apenas se a proporção desses movimentos angulares, ${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}}$,é um número racional, digamos ${\displaystyle p/q}$, onde ${\displaystyle p}$ & ${\displaystyle q}$ são coprimos, caso em que, um período consiste em orbita ${\displaystyle p}$ em torno do eixo móvel e órbitas ${\displaystyle q}$ do eixo móvel em torno do ponto${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. Os casos especiais do epicicloide e do hipocicloide, gerados pelo traçado do locus de um ponto no perímetro de um círculo de raio ${\displaystyle r_{1}}$ enquanto é enrolado no perímetro de um círculo estacionário de raio ${\displaystyle R}$, têm as seguintes propriedades:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{epitrocoide: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |p-q|{\text{ cúspides}}\\{\text{hipotrocoide: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |p-q|=|p|+|q|{\text{ cúspides}}\end{array}}}$

onde ${\displaystyle r_{2}}$ é o raio da órbita do eixo móvel. O número de cúspides fornecido acima também é verdadeiro para qualquer epitrocoide e hipotrocoide, com "cúspides" substituídas por "máximos radiais" ou "mínimos radiais".

Referências

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