Vetor nulo

Na matemática, dado um espaço vetorial X com uma forma quadrática associada q, denotado por (X, q), um vetor nulo ou vetor isotrópico é um elemento não nulo x de X para o qual q(x) = 0.

Na teoria das formas bilineares reais, as formas quadráticas definidas e as formas quadráticas isotrópicas são distintas. Elas se diferenciam pelo fato de que apenas para as últimas existe um vetor nulo não nulo.

Um espaço quadrático (X, q) que possui um vetor nulo é chamado de espaço pseudo-euclidiano. O termo vetor isotrópico v quando q(v) = 0 tem sido usado em espaços quadráticos, e espaço anisotrópico para um espaço quadrático sem vetores nulos.

Um espaço vetorial pseudo-euclidiano pode ser decomposto (de forma não única) em subespaços ortogonais A e B, X = A + B, onde q é definida positiva em A e definida negativa em B. O cone nulo, ou cone isotrópico, de X consiste na união de esferas equilibradas: $${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,\ \ a\in A,b\in B\}.}$$ O cone nulo também é a união das retas isotrópicas que passam pela origem.

Álgebras divididas

Uma álgebra de composição com um vetor nulo é uma álgebra dividida (ou álgebra cindida).

Em uma álgebra de composição (A, +, ×, *), a forma quadrática é q(x) = x x*. Quando x é um vetor nulo, não existe inverso multiplicativo para x e, como x ≠ 0, A não é uma álgebra de divisão.

Na construção de Cayley–Dickson, as álgebras divididas surgem na série dos números bicomplexos, biquatérnios e bioctônios, que utiliza o corpo dos números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ como base dessa construção de duplicação devida a L. E. Dickson (1919). Em particular, essas álgebras possuem duas unidades imaginárias, que comutam de modo que seu produto, quando elevado ao quadrado, resulta em +1:

${\displaystyle (hi)^{2}=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.}$ Então

${\displaystyle (1+hi)(1+hi)^{*}=(1+hi)(1-hi)=1-(hi)^{2}=0}$ portanto 1 + hi é um vetor nulo.

As subálgebras reais, números complexos divididos, quatérnios divididos e octônios divididos, com seus cones nulos representando o rastreamento da luz entrando e saindo de 0 ∈ A, sugerem a topologia do espaço-tempo.

Exemplos

Os vetores tipo luz do espaço de Minkowski são vetores nulos.

Os quatro biquatérnios linearmente independentes l = 1 + hi, n = 1 + hj, m = 1 + hk e m^∗ = 1 – hk são vetores nulos e { l, n, m, m^∗ } pode servir como uma base para o subespaço usado para representar o espaço-tempo. Os vetores nulos também são usados na abordagem do formalismo de Newman–Penrose para variedades do espaço-tempo.

No módulo de Verma de uma álgebra de Lie existem vetores nulos.

Referências

• Dubrovin, B. A.; Fomenko, A. T.; Novikov, S. P. (1984). Modern Geometry: Methods and Applications. Traduzido por Burns, Robert G. [S.l.]: Springer. p. 50. ISBN 0-387-90872-2 
• Shaw, Ronald (1982). Linear Algebra and Group Representations. 1. [S.l.]: Academic Press. p. 151. ISBN 0-12-639201-3 
• Neville, E. H. (Eric Harold) (1922). Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 204