Absolutbelopp

Absolutbeloppet, ibland kallat absolutvärdet eller beloppet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen.

Absolutbeloppet av ett reellt tal x definieras av

${\displaystyle |x|=\left\{{\begin{matrix}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{matrix}}\right.}$

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi definieras av

${\displaystyle |z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

(se kvadratrot och komplexkonjugat.)

För en vektor v = (x₁, x₂,..., x_n), kallas ibland vektorns längd för vektorns absolutbelopp eller belopp:

${\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}}$

Den vanliga benämningen är dock vektorns norm och betecknas ${\displaystyle ||\mathbf {\bar {v}} ||}$.

Egenskaper

Om a och b är komplexa tal gäller att

1. ${\displaystyle |a|\geq 0}$
2. ${\displaystyle |a|=0\Leftrightarrow a=0}$
3. ${\displaystyle |ab|=|a||b|\,}$
4. ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}}$
5. ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$ (triangelolikheten)
6. ${\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||}$ (omvända triangelolikheten)
7. ${\displaystyle |a|={\sqrt {aa^{*}}}}$, där a^* är det komplexkonjugerade värdet av a

Om a och b är reella gäller även

8. ${\displaystyle |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b,b\geq 0}$

Anledningen till att man använder begreppet norm för vektorer är att multiplikationsregeln gäller ett reellt tal ${\displaystyle a}$ och en vektor ${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} }$:

• ${\displaystyle ||a\cdot \mathbf {\bar {v}} ||=|a|\cdot ||\mathbf {\bar {v}} ||}$

Exempel

${\displaystyle \ |5|=5}$

${\displaystyle \ |-5\,|=5}$

${\displaystyle \ |\,1+\mathrm {i} \,|={\sqrt {2}}}$

Se även

• Norm (matematik)

Referenser

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Absolutbelopp.
  Bilder & media