Avbildning

Wiktionary har en ordboksartikel om avbildning.

Inom matematik är en avbildning, T, från en mängd X till en mängd Y, en hopparning av vissa element från X med vissa element från Y. Denna parning är sådan att ett X-element paras ihop med bara ett Y-element; X-elementet x paras ihop med Y-elementet Tx.

• De X-element som ingår i parningen utgör vad som kallas avbildningens definitionsmängd D(T). I allmänhet är detta en delmängd av mängden X:

${\displaystyle D(T)\subseteq X.}$

• De Y-element som ingår i parningen utgör vad som kallas avbildningens värdemängd R(T). I allmänhet är detta en delmängd av mängden Y:

${\displaystyle R(T)\subseteq Y.}$

• Om definitionsmängden utgör hela mängden X säger man att avbildningen är injektiv:

${\displaystyle D(T)\,=X}$

• Om värdemängden utgör hela Y-mängden säger man att avbildningen är surjektiv:

${\displaystyle R(T)\,=Y.}$

• En avbildning som är både injektiv och surjektiv kallar man en bijektiv avbildning.

En operator är en avbildning där mängden X är ett vektorrum och där mängden Y också är ett vektorrum.

En funktional är en avbildning där mängden X är ett vektorrum och mängden Y är en delmängd av de komplexa talen.

Ofta används begreppet funktion synonymt med avbildning, men ibland görs åtskillnad mellan dessa begrepp. I dessa fall menas med en funktion en avbildning där mängden X kan vara vad som helst, men där mängden Y är en delmängd av de komplexa talen.

Mängden av de komplexa talen är ett vektorrum, så en funktional är en särskild slags operator och även en särskild slags funktion.

Exempel

Operator: Låt X vara mängden av alla deriverbara och reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1] och låt Y vara mängden av alla kontinuerliga reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1]:

${\displaystyle X={\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} );}$

${\displaystyle Y={\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} ).}$

Ett exempel på en operator är den avbildning som parar ihop en deriverbar reellvärd funktion x(t) med dess derivata (som är en kontinuerlig funktion):

${\displaystyle Tx={\frac {dx}{dt}},\quad x\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} ).}$

Funktional: Låt X vara mängden av alla kontinuerliga reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1]. Ett exempel på en funktional är den bestämda integralen över intervallet [0,1]:

${\displaystyle Tx=\int _{0}^{1}x(t)\,dt,\qquad x\in {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} ).}$

Funktion: Låt X vara det slutna intervallet [0,1] och Y också vara samma intervall. Ett exempel på en funktion är:

${\displaystyle T(x)\,=x^{2},\qquad x\in [0,1].}$

(När det gäller funktioner är det brukligt att skriva T(x) istället för Tx.)

Källor

• G. B. Folland, Real Analysis: Modern techniques and their applications, Second edition (1999), Wiley-Interscience
• E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications, (1978), Wiley