Naturliga logaritmen

Naturliga logaritmen är en logaritm med basen e, ett transcendent tal approximativt lika med 2,718. Den naturliga logaritmen av ett tal x skrivs ofta ln(x) och är definierad för alla strikt positiva tal. Den naturliga logaritmfunktionen är en reellvärd funktion av en reell variabel:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\ln x}=x\qquad {\mbox{om }}x>0}$

${\displaystyle \ln \mathrm {e} ^{x}=x}$

I likhet med alla logaritmiska funktioner, mappas multiplikation till addition:

${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y}$

Naturliga logaritmen kan definieras med integralen

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt\approx \log _{4}{x}+\log _{36}{x}}$

Ett tidigt omnämnande av naturlig logaritm gjordes av Nicholas Mercator i verket Logarithmotechnia 1658, men matematikläraren John Speidell hade redan 1619 sammanställt en tabell över naturliga logaritmer.

Egenskaper

• ${\displaystyle \ln \mathrm {e} =1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y;\quad \quad x>0,\ y>0}$
• ${\displaystyle \ln {\frac {x}{y}}=\ln x-\ln y;\quad \quad x>0,\ y>0}$
• ${\displaystyle \ln x<\ln y;\quad \quad 0<x<y}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to 0}{\frac {x^{n}-1}{n}}=\ln x}$
• ${\displaystyle \ln x^{y}=y\,\ln x;\quad \quad x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1;\quad \quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x;\quad \quad x\geq 0,\ \alpha \geq 1}$

Derivata och taylorserier

Den naturliga logaritmens derivata ges av

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$

Bevis:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad }$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\ln \left(\left[1+{\frac {h}{x}}\right]^{\frac {1}{h}}\right)}$

Låt ${\displaystyle u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h}$

${\displaystyle {\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln \left([1+u]^{\frac {1}{ux}}\right)}$

${\displaystyle =\lim _{u\to 0}\ln \left(\left[[1+u]^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln \left([1+u]^{\frac {1}{u}}\right)}$

Låt ${\displaystyle n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln \left(\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{x}}\ln \mathrm {e} \ =\ {\frac {1}{x}}}$

Detta leder till taylorserierna för ln(1 + x) kring 0 (också kända som mercatorserierna):

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \$ ;\qquad \left|x\right|\leq 1,\ x\neq -1}

Referenser