Cirkel

En cirkel är mängden av punkter i planet som ligger på samma avstånd, cirkelns radie, till en given punkt, cirkelns medelpunkt, centrum eller mittpunkt. Cirkeln är en av de grundläggande formerna inom euklidisk geometri.

I dagligt tal och i delar av skolmatematiken används också ordet cirkel för det område som cirkeln innesluter. Detta område benämns i vedertagen matematisk terminologi som cirkelskiva.

I tre dimensioner är sfären en analogi till cirkeln. Även i högre dimensioner används ordet sfär för en mängd av punkter på konstant avstånd till en given punkt.

Med hjälp av analytisk beskrivning av cirkeln går det att visa att kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter är en konstant, alltså oberoende av vilken cirkel som väljs. Denna kvot är talet π som uttalas pi. Man brukar säga att Pi är ungefär 3,14 om man skulle räkna omkretsen eller Arean.

Definitioner

Längden av den kurva som en cirkel utgör kallas cirkelns omkrets

En sträcka mellan två punkter på cirkeln och genom medelpunkten kallas för en diameter i cirkeln. Även längden av en sådan sträcka kallas diameter

En tangent är en linje genom en enda punkt på cirkeln och som är vinkelrät mot en radie till samma punkt

En korda är en sträcka mellan två punkter på cirkeln

En sekant är en linje som skär cirkeln i två punkter

En punkt som ligger i det område som en cirkel omsluter, men inte på cirkeln, sägs ligga i det inre av cirkeln. En punkt på cirkeln sägs ibland vara en punkt på periferin

En cirkel som går genom samtliga hörn på en given triangel sägs vara en omskriven cirkel. En cirkel som tangerar samtliga sidor på en triangel sägs vara en inskriven cirkel

En vinkel mellan två kordor AB, BC sägs vara en periferivinkel. En vinkel mellan två radier AM, MB sägs vara en medelpunktsvinkel

En sammanhängande del av cirkeln kallas för en cirkelbåge

Ett sammanhängande område begränsat av två radier och en cirkelbåge kallas cirkelsektor

Cirkelns ekvation

I ett kartesiskt koordinatsystem kan en cirkel med medelpunkt i (x₀, y₀) och radien r, beskrivas som mängden av punkter som uppfyller

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}

Ekvationen kan ställas upp genom utnyttjande av Pythagoras sats för avståndet mellan punkterna

(x_{0}, y_{0})

och

(x, y)

– se figuren till höger.

Denna ekvation kan även skrivas mer allmänt som den kvadratiska funktionen

f (x, y) = a (x^{2} + y^{2}) + b x + c y + d = 0

då

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x_{0} x + {x_{0}}^{2} + y^{2} - 2 y_{0} y + {y_{0}}^{2} - r^{2} = 0 \Leftrightarrow

a x^{2} + a y^{2} - a \cdot 2 x_{0} x - a \cdot y_{0} y + a ({x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} - r^{2}) = a \cdot 0 = 0

, vilket med

b = - a \cdot 2 x_{0}

,

c = - a \cdot 2 y_{0}

och

d = a ({x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} - r^{2})

ger uttrycket ovan.

I polära koordinater är cirkelns ekvation

r^{2} - 2 r r_{0} \cos (θ - ϕ) + r_{0}^{2} = a^{2}

där a är cirkelns radie,

(r, θ)

är de polära koordinaterna för en punkt på cirkeln och

(r_{0}, ϕ)

är de polära koordinaterna för cirkelns centrum.

I det komplexa talplanet har en cirkel med centrum i c och med radien r, ekvationen $| z - c | = r$ . I parametrisk form kan detta skrivas

z = r e^{i t} + c

Cirkeln kan beskrivas som en plan, parametriserad kurva på flera sätt. Till exempel ges en cirkel med medelpunkt i origo och radie r av parametriseringen

x = r \cos t

y = r \sin t

För r = 1 erhålls enhetscirkeln, det vill säga en cirkel med radien 1 och med medelpunkten i origo.

Area

Cirkelskivans area är

A = π r^{2}

eller

A = π d^{2} / 4

.

Omkretsen är

O = 2 π r

Beräkning av cirkelskivans area

Med koncentriska skal

Om cirkelskivan delas upp i koncentriska ringar med omkretsen $2 π t$ kan arean beräknas med integralen

A = \int_{0}^{r} 2 π t d t = {[2 π \frac{t^{2}}{2}]}_{0}^{r} = π r^{2}

Med trianglar

Cirkelskivan kan approximativt uppdelas i likbenta trianglar med toppvinklarna $d θ$ samt höjderna r och dess area beräknas med integralen

A = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} r \cdot r d θ = {[\frac{1}{2} r^{2} θ]}_{0}^{2 π} = π r^{2}

Cirkeln inom Euklidisk geometri

Cirkeln är ett primitivt objekt i den euklidiska geometrin och introduceras i axiomet enligt vilket, givet en sträcka, det finns en cirkel med medelpunkt i en av sträckans ändpunkter och med sträckan som radie. Cirklar används bland annat för att konstruera räta vinklar och för att dela sträckor i två lika delar. Vidare finns ett antal satser i euklidisk geometri om cirklars egenskaper:

Om A, B och C är punkter på en cirkel och AC är en diameter är vinkeln ABC rät

För varje triangel finns en och endast en omskriven cirkel

För varje triangel finns en och endast en inskriven cirkel

Om A,B,C,D är punkter på en cirkel och M är skärningspunkten mellan kordorna AB och CD, så gäller att |AM||MB|=|CM||MD|

Apollonius cirkel

Apollonius av Perga visade att en cirkel kan definieras som mängden punkter i ett plan vars avstånd till två fixa punkter har ett konstant förhållande (skilt från 1).

Om de fixa punkterna är A och B (se bild) så gäller för en punkt P på cirkeln att

\frac{A P}{B P} = \frac{A C}{B C}

där punkten C på linjen AB anger det konstanta förhållandet.

Se även

Referenser

↑ Om $A = 0$ får man linjen $b x + c y + d = 0$ , vilken kan inkluderas i de fall då en linje betraktas som en "degenererad cirkel" med oändligt stor radie (exempelvis inom projektiv geometri). Med rätt (eller fel) val av koeffecienter kan man också få cirklar med radien noll, det vill säga punkter.
↑ Se Eric W. Weisstein, Circle (ekvationerna 26 till 34) på Wolfram MathWorld. Notera dock att koeffecienterna betecknas annorlunda och att c=a.
↑ Harkness, James (1898). Introduction to the theory of analytic functions. London, New York: Macmillan and Co. sid. 30. Arkiverad från originalet den 7 mars 2009. https://web.archive.org/web/20090307104133/http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002. Läst 26 juli 2014
↑ Ogilvy, C. Stanley, Excursions in Geometry, Dover, 1969, 14–17.

Externa länkar

Wikimedia Commons har media som rör Cirkel.
Bilder & media

[1] Om $A = 0$ får man linjen $b x + c y + d = 0$ , vilken kan inkluderas i de fall då en linje betraktas som en "degenererad cirkel" med oändligt stor radie (exempelvis inom projektiv geometri). Med rätt (eller fel) val av koeffecienter kan man också få cirklar med radien noll, det vill säga punkter.

[2] Se Eric W. Weisstein, Circle (ekvationerna 26 till 34) på Wolfram MathWorld. Notera dock att koeffecienterna betecknas annorlunda och att c=a.

[3] Harkness, James (1898). Introduction to the theory of analytic functions. London, New York: Macmillan and Co. sid. 30. Arkiverad från originalet den 7 mars 2009. https://web.archive.org/web/20090307104133/http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002. Läst 26 juli 2014

[4] Ogilvy, C. Stanley, Excursions in Geometry, Dover, 1969, 14–17.