2020–2024: Linköping HC
Bystedt påbörjade sin ishockeykarriär i moderklubben Linköping HC och spelade i klubbens ungdoms- och juniorsektioner. Säsongen 2020/21 spelade han för Linköping J20, men registrerades också för en match med seniorlaget i SHL, dock utan någon istid. Den följande säsongen gjorde Bystedt riktig SHL-debut då han den 30 september 2021 spelade åtta minuter i en match mot Rögle BK. I sin sjätte SHL-match för säsongen, den 14 oktober samma år, noterades han för sitt första SHL-mål, på Oscar Alsenfelt, i en 4–3-seger mot Malmö Redhawks. Totalt spelade Bystedt 15 SHL-matcher under säsongens gång och stod för ett mål och en assist. Större delen av säsongen tillbringade han med Linköpings J20-lag, där han på 40 grundseriematcher noterades för 49 poäng (16 mål, 33 assist) och var lagets poängmässigt bästa spelare. I JSM-slutspelet slog Linköping ut Södertälje SK, AIK och Örebro HK, innan man besegrade Djurgårdens IF i finalen med 5–2.
Den 1 april 2022 bekräftades det att Linköping skrivit ett treårsavtal med Bystedt. Tre månader senare, vid NHL Entry Draft 2022, valdes Bystedt av San Jose Sharks i den första rundan som 27:e spelare totalt. Säsongen 2022/23 hade Bystedt slagit sig in i Linköpings A-lag och tagit en ordinarie plats i truppen. Totalt spelade han 45 matcher under säsongen och stod för 20 poäng (7 mål, 13 assist), vilket gav honom en tredjeplats i SHL:s poängliga för juniorer. Han utsågs senare till årets rookie i SHL.
Bystedt skrev den 12 juni 2023 ett treårsavtal med Sharks i NHL. I augusti samma år bekräftades det att Bystedt skulle komma att lånas ut till Linköping under säsongen 2023/24. Denna säsong noterades han för 17 poäng på 47 grundseriematcher, varav åtta mål. Med denna notering var han lagets poängmässigt bästa junior och gav honom en sjunde plats i poängligan för juniorer i SHL. Linköping slutade på sjätte plats i grundserien och Bystedt spelade därefter sitt första SM-slutspel, där laget slogs ut i kvartsfinalserien mot Skellefteå AIK med 4–0 i matcher.
Från 2024: San Jose Barracuda
Kort efter Linköpings uttåg ur SM-slutspelet bekräftades det att Sharks kallat tillbaka Bystedt till Nordamerika för spel i klubbens farmarlag San Jose Barracuda i AHL. Den 3 april 2024 gjorde han AHL-debut och gjorde dessutom sina två första mål i ligan, på Alex Stalock, i en 5–6-förlust mot San Diego Gulls. Barracuda, som var ett bottenlag denna säsong, misslyckades att ta sig till Calder Cup-slutspelet och Bystedt noterades för fyra mål och tre assistpoäng på åtta grundseriematcher.
Bystedt inledde säsongen 2024/25 med att göra poäng i varje av de sex inledande matcherna. I slutet av februari 2025 ådrog han sig en skada vilken höll honom borta från spel i 17 matcher. Han var tillbaka i spel i april samma år och spelade de sju avslutande grundseriematcherna; på totalt 50 matcher noterades Bystedt för 31 poäng (12 mål, 19 assist). I Calder Cup-slutspelet slogs Barracuda ut i åttondelsfinalserien mot Colorado Eagles med 3–1 i matcher. På sex slutspelsmatcher stod Bystedt för tre mål och var därmed, tillsammans med Pavol Regenda, lagets målfarligaste spelare.
Säsongen 2025/26 närapå fördubblade Bystedt sin poängproduktion från föregående säsong. I januari 2026 blev han uttagen till AHL:s All Star-match; i början av februari samma år ådrog han sig dock en skada och kunde således inte medverka. Bystedt vann lagets interna poängliga då han stod för 60 poäng på 65 grundseriematcher (22 mål, 38 assist) och slutade på 18:e plats i AHL:s poängliga. I det följande Calder Cup-slutspelet slogs Barracuda ut i den första rudan av Henderson Silver Knights med 2–0 i matcher. Bystedt noterades för en assistpoäng på dessa matcher.
Sverige