Hilbertmatris

Inom matematiken är en Hilbertmatris en matris där elementen består av bråktal med täljaren 1, uppkallad efter matematikern David Hilbert.

Definition

Ett element ${\displaystyle h_{ij}}$ i en Hilbertmatris har värdet:

${\displaystyle h_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.}$

Exempel

Hilbertmatrisen H av format ${\displaystyle 4\times 4}$:

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}}$

Egenskaper

Hilbertmatriser är positivt definita och symmetriska. Matrisen är ett typexempel på en illa konditionerad matris, då dess konditionstal är av ordningen ${\displaystyle O(e^{3.5255n}/{\sqrt {n}})}$.