Hyperbolisk funktion

Inom matematiken är de hyperboliska funktionerna nära besläktade med de trigonometriska funktionerna, vilket antyds av deras benämningar:

• sinus hyperbolicus (sinh)
• cosinus hyperbolicus (cosh)
• tangens hyperbolicus (tanh)
• secans hyperbolicus (sech)
• cosecans hyperbolicus (csch)
• cotangens hyperbolicus (coth)

sech och csch används sällan.

Definition

De hyperboliska funktionernas definitioner är

• ${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$
• ${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$
• ${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {sech} (x)={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {csch} (x)={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}$
• ${\displaystyle \coth x={\frac {1}{\tanh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}$

Vid jämförelse med Eulers formler, framgår att enligt definitionerna av cosh och cos är skillnaden att vinkeln är multiplicerad med komplexa enheten i; motsvarande gäller för sin och sinh:

• ${\displaystyle \cosh(x)=\cos(ix),\qquad \cosh(ix)=\cos(x)}$
• ${\displaystyle \sinh(x)=-i\sin(ix),\qquad \sinh(ix)=i\sin(x)}$

och därmed kan de trigonometriska funktionerna – ur ett analytiskt perspektiv – betraktas som utvidgningar av de hyperboliska funktionerna till det komplexa talplanet. Ur ett geometriskt perspektiv är dock de trigonometriska funktionerna mer grundläggande och man kan då – ur denna synvinkel – betrakta de hyperboliska funktionerna som utvidgningar till det komplexa talplanet av trigonometriska funktioner.

Taylorserie

Utveckling av sinh och cosh i en taylorserie kan göras med hjälp av serieutvecklingar av exponentialfunktionen:

${\displaystyle \sinh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\qquad \cosh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$

Identiteter

Motsvarigheten till trigonometriska ettan, kallad hyperboliska ettan:

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$

sinh är udda, cosh är jämn:

${\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x}$

${\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x}$

Summor:

${\displaystyle \sinh {(x+y)}=\sinh {(x)}\cdot \cosh {(y)}+\cosh {(x)}\cdot \sinh {(y)}}$

${\displaystyle \sinh {(x-y)}=\sinh {(x)}\cdot \cosh {(y)}-\cosh {(x)}\cdot \sinh {(y)}}$

${\displaystyle \cosh {(x+y)}=\cosh {(x)}\cdot \cosh {(y)}+\sinh {(x)}\cdot \sinh {(y)}}$

${\displaystyle \cosh {(x-y)}=\cosh {(x)}\cdot \cosh {(y)}-\sinh {(x)}\cdot \sinh {(y)}}$

Inversa funktioner

De hyperboliska funktionernas inverser benämns area hyperbolicus eller arcus hyperbolicus. Dock kan varje sådan invers-funktion skrivas med hjälp av logaritmer:

• ${\displaystyle \operatorname {arcsinh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccosh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctanh} x={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$

Speciellt gäller att arcsinh är entydigt definierad för hela ℝ till skillnad från inverserna av de trigonometriska funktionerna där man undviker flertydighet genom att införa begreppet principalvärde.

Derivator

Se även

• Trigonometrisk funktion
• Derivata
• Tabell över matematiska symboler

Referenser

• Andreas Rejbrand: De hyperboliska funktionerna, Kompenium, 2011.
• Eric Weisstein: Hyperbolic Functions, MathWorld.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Hyperbolisk funktion.
  Bilder & media
• GonioLab: Visualisering av enhetscirkeln, trigonometriska och hyperboliska funktioner (Java Web Start)