Itōprocess

En Itōprocess är en stokastisk process, ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in [0,T]}}$, vars element kan framställas som en summa av en 'vanlig integral' och en stokastisk integral:

${\displaystyle X_{t}=x+\int _{0}^{t}a_{s}\,ds+\underbrace {\int _{0}^{t}b_{s}\,dW_{s}} _{\rm {stokastisk\,integral}},\qquad t\in [0,T].}$

En sådan framställning kallas för en stokastisk differentialekvation, och den brukar skrivas mer kortfattat på följande sätt:

${\displaystyle dX_{t}=a_{t}\,dt+b_{t}\,dW_{t},\qquad X_{0}=x.}$

De stokastiska processerna ${\displaystyle \{a_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ och ${\displaystyle \{b_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ skall vara sådana att integralerna ovan existerar, vilket de gör om

${\displaystyle \mathbb {P} \left\{\sup _{t\in [0,T]}\int _{0}^{t}\vert a_{s}\vert \,ds<\infty \right\}=1\quad och\quad \mathbb {P} \left\{\sup _{t\in [0,T]}\int _{0}^{t}\vert b_{s}\vert ^{2}\,ds<\infty \right\}=1.}$

Vidare skall processernas värden vid varje tidpunkt endast bero på de tidigare värden som Wienerprocessen W antagit; värdena ${\displaystyle a_{s}}$ och ${\displaystyle b_{s}}$ skall vara funktioner av värdena ${\displaystyle W_{u}}$, där tiderna u ligger före tidpunkten s:

${\displaystyle a_{s}=f_{s}(W_{u}:u\in [0,s])\quad och\quad b_{s}=g_{s}(W_{v}:v\in [0,s]),\quad s\in [0,T].}$

Man säger att processerna a och b är anpassade till den filtration som Wienerprocessen genererar:

${\displaystyle a_{s},b_{s}\in \sigma (W_{s}:s\in [0,t]),\qquad s\in [0,T].}$

Processen är uppkallad efter den japanske matematikern Kiyoshi Itō.

Se även

• Stokastisk integral
• Itos formel (eller Itos lemma), ett mycket viktigt resultat nära knutet till begreppet Itōprocess

Källor

• B. Øksendal, Stochastic differential equations: An introduction with applications, Fifth edition, (2000), Springer Verlag;
• T. Björk, Arbitrage theory in continuous time, (1998), Oxford University Press;
• I. Karatzas och S.E. Shreve, Brownian motion and Stochastic calculus, Second edition, (1991), Springer Verlag