Derivatan av en funktion i en punkt kan geometriskt tolkas som lutningen hos funktionens tangent i punkten.
Differentialkalkylen handlar om att finna den ögonblickliga hastigheten (derivatan) av en funktions värde i förhållande till dess argument.
Integralkalkylen studerar metoder för att finna integralen av en funktion. En integral kan definieras som det matematiska gränsvärdet av en summa av termer som motsvarar arean mellan grafen av en funktion och axeln för variabeln som används som argument.
Gränsvärde är ett centralt begrepp inom matematisk analys och ligger till grund för bland annat kontinuitet, konvergens, derivator och integraler. Ett enkelt fall är gränsvärdet för en talföljd, där följdens termer närmar sig ett bestämt värde när ordningsnumret växer. En oändlig serie kan beskrivas med hjälp av följden av dess partialsummor, och serien sägs konvergera om denna följd har ett ändligt gränsvärde.
Bland den matematiska analysens fundament finns också funktionsbegreppet och kontinuitet. En funktion är kontinuerlig i en punkt om förändringen i funktionsvärdet går mot noll när förändringen i argumentet går mot noll. Kontinuitet är därmed nära förbunden med gränsvärdesbegreppet.
Analysens fundamentalsats innebär, i viss mening, att derivering och integration är omvända operationer. Sambandet mellan derivata och integraler gör det möjligt att beräkna den totala förändringen i en funktion genom att integrera dess ögonblickliga förändringshastighet. Fundamentalsatsen gör det också möjligt att beräkna många integraler algebraiskt, utan att behöva använda gränsvärden, genom att hitta deras primitiva funktion.
Reell analys behandlar funktioner av reella variabler och omfattar bland annat frågor om funktioners egenskaper, gränsvärden, kontinuitet, differentiering och integration. En viktig del av den moderna reella analysen är måtteori och integrationsteori, där bland annat Lebesguemått och Lebesgueintegralen används för att studera mer allmänna klasser av funktioner.
Komplex analys behandlar i vid mening funktioner definierade på delmängder av det komplexa talplanet eller högre dimensionella komplexa rum, och i snävare mening analytiska funktioner av en eller flera komplexa variabler.
Funktionalanalys är en del av den moderna matematiska analysen där bland annat oändligdimensionella rum, funktionaler och operatorer studeras. Harmonisk analys omfattar bland annat teorin för trigonometriska serier, Fouriertransformer och närliggande metoder för att representera och analysera funktioner.
Teorin för differentialekvationer, både ordinära och partiella, räknas i vid mening till den matematiska analysen. Variationskalkyl studerar metoder för att bestämma extremvärden för funktionaler, det vill säga storheter vars argument själva är funktioner. Inom vektoranalys studeras bland annat vektorer som är funktioner av en eller flera skalära variabler.
Historia
Den matematiska analysens föregångare finns i den antika grekiska matematiken, där bland andra Eudoxos utvecklade uttömningsmetoden för beräkningar av areor och volymer. Arkimedes använde uttömningsmetoden för bland annat beräkningar av cirkelns area samt sfärers och andra kroppars area och volym. I sitt arbete med parabelsegment använde han dessutom en oändlig geometrisk serie, ett tidigt exempel på de metoder som senare blev centrala inom analysen.
Under 1600-talet utvecklades metoder för problem som senare kom att behandlas inom differential- och integralkalkylen. Motiv bakom utvecklingen var bland annat att lösa geometriska problem, såsom att finna en given kurvas tangent, och att lösa problem rörande rörelse och andra fysikaliska förlopp. Pierre de Fermat utvecklade en metod för att bestämma maxima och minima som hade nära samband med den senare differentialkalkylen, och Lagrange beskrev senare Fermat som kalkylens uppfinnare. Isaac Barrow insåg sambandet mellan tangentproblem och areaberäkningar och närmade sig därmed det resultat som senare blev känt som analysens fundamentalsats.
Den sammanhängande differential- och integralkalkylen utvecklades under senare delen av 1600-talet oberoende av Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton utarbetade 1666 sin metod med så kallade fluxioner och formulerade ett tydligt samband mellan differentiering och integration. Leibniz utvecklade kalkylen från en annan utgångspunkt och införde bland annat beteckningarna , och integraltecknet , vilka fick stor betydelse för den fortsatta utvecklingen. Leibniz publicerade sina resultat om differential- respektive integralkalkyl 1684 och 1686. Insikten hos främst Newton och Leibniz om sambandet mellan derivering och integration bidrog till en snabb fortsatt utveckling av analysen.
Efter Newton och Leibniz vidareutvecklades kalkylen bland annat av Jakob Bernoulli och Johann Bernoulli. Under 1700-talet gav Leonhard Euler analysen en mer central plats inom matematiken och gjorde funktionsbegreppet centralt i Introductio in analysin infinitorum från 1748. Analysen utvecklades under denna period från en samling metoder för särskilda problem till ett mer sammanhängande matematiskt område.
Kalkylens logiska grunder var dock länge otillräckligt preciserade, och under 1700-talet riktades kritik mot användningen av oändligt små storheter. Under början av 1800-talet bidrog Augustin Louis Cauchy till en mer rigorös grund för analysen genom att systematiskt använda och definiera begrepp som gränsvärde, kontinuitet, konvergens och derivata. Hans Cours d'Analyse från 1821 var ett viktigt steg i arbetet med att göra kalkylen rigorös.
Samtidigt bidrog bland andra Joseph Fourier till en utvidgning av analysens funktionsbegrepp genom sitt arbete med representation av funktioner med Fourierserier. Under 1800- och 1900-talen ledde den fortsatta undersökningen av analysens grundbegrepp bland annat till utvecklingen av mängdteori, måtteori och teorin för funktioner av en reell variabel.
Tillämpningar
Den matematiska analysens metoder används bland annat för att formulera och studera matematiska modeller av fysikaliska fenomen. Den låter oss också lösa differentialekvationer, ekvationer som relaterar en okänd funktion med dess derivator. Differentialekvationer förekommer inom många delar av naturvetenskapen och tekniken, bland annat inom mekanik, astronomi, fysik, kemi och biologi. Partiella differentialekvationer används bland annat i modeller för elektrodynamik, akustik, elasticitet, hydrodynamik och andra fysikaliska fält- och vågfenomen.
En annan tillämpning av differentialkalkylen är Newtons metod, en algoritm för att hitta en funktions nollställe genom att approximera funktionen med hjälp av dess tangent. Metoden är ett exempel på hur analysens begrepp används inom numerisk analys för att approximera lösningar som inte bestäms direkt med algebraiska metoder.
