Normal delgrupp

En normal delgrupp är inom den abstrakta algebran en särskild sorts delgrupp, som är av fundamental betydelse vid konstruktionen av kvotgrupper. En delgrupp N till en grupp G, kallas för en normal delgrupp om den är invariant under varje inre automorfi på G, det vill säga om avbildningen g^-1Ng = N för alla element g i G. Matematikern Évariste Galois var den förste, som insåg betydelsen av att skilja på vanliga och normala delgrupper.

Definition

Om G är en grupp och N en delgrupp till G, så är N en normal delgrupp till G om N är invariant under konjugering. Detta kan även uttryckas enligt följande: N är normal, om för alla h i N och alla g i G, ${\displaystyle ghg^{-1}}$ är ett element i N.

Att N är en normal delgrupp till G skrivs oftast ${\displaystyle N\triangleleft G}$ eller ${\displaystyle G\triangleright N}$.

Följande tre alternativa definitioner av normal delgrupp är ekvivalenta^{[särskiljning behövs]}:

• N är en normal delgrupp i G om ${\displaystyle \forall h\in N,\forall g\in G:ghg^{-1}\in N}$
• N är en normal delgrupp i G om gN = Ng, det vill säga om N:s vänstersidoklasser och högersidoklasser sammanfaller.
• N är en normal delgrupp i G om det existerar en homomorfi på G vars kärna är N.

En normal delgrupp M säges vara en maximal normal delgrupp i G om M ≠ G och det inte finns någon normal delgrupp N i G sådan att ${\displaystyle M<N<G}$.

Exempel

• ${\displaystyle \{e\}}$, vars enda element är det neutrala elementet och hela gruppen G är triviala normala delgrupper till G. Om G endast har triviala normala delgrupper, sägs G vara en enkel grupp.
• Om G är en abelsk grupp är samtliga dess delgrupper normala, ty ${\displaystyle gN=Ng}$. En grupp som inte är abelsk och vars alla delgrupper är normala kallas för hamiltonsk grupp.
• Den alternerande gruppen A_n, gruppen som består av alla jämna permutationer, är en normal delgrupp i den symmetriska gruppen S_n.

Egenskaper

• Kärnan till en grupphomomorfi f : G → H är en normal delgrupp av G.
• Normalitet bevaras av surjektiva homomorfier.
• Om N är normal i G och F är en delgrupp i G sådan att N≤F≤G, så är N normal i F.
• Normalitet är inte en transitiv relation, en normal delgrupp till en normal delgrupp till G behöver inte vara normal i G.
• Om en delgrupp N till G är normal kan man bilda kvotgruppen ${\displaystyle G/N}$, ty man kan definiera multiplikation av sidoklasser enligt:

${\displaystyle (aN)(bN)=abN}$

• ${\displaystyle M\triangleleft G}$ är maximal om och endast om ${\displaystyle G/M}$ är enkel.

Källor

• B.L. van der Waerden, Algebra, Springer Verlag 1950.
• I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell 1964.