Algebra över en kropp

En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.

Definition

En algebra ${\displaystyle A}$ över en kropp ${\displaystyle K}$ är ett vektorrum ${\displaystyle A}$ där det för varje par av element ${\displaystyle x,y\in A}$ finns en unik produkt ${\displaystyle xy\in A}$ med egenskaperna:

• ${\displaystyle x(y+z)=xy+xz\,}$
• ${\displaystyle (x+y)z=xz+yz\,}$
• ${\displaystyle \alpha (xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)\,}$

för ${\displaystyle x,y,z\in A}$ och ${\displaystyle \alpha \in K}$.

${\displaystyle A}$ sägs vara en associativ algebra om

${\displaystyle x(yz)=(xy)z\,}$

och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om

${\displaystyle xy=yx\,}$.

${\displaystyle A}$ kallas för algebra med neutralt element om det finns ett ${\displaystyle e\in A}$ så att

${\displaystyle ex=xe=x\,}$.

Om ${\displaystyle A}$ har ett neutralt element är det unikt. För om man antar att det finns två neutrala element, ${\displaystyle e}$ och ${\displaystyle e'}$, får man att

• ${\displaystyle ee'=e}$ eftersom ${\displaystyle e'}$ är ett neutralt element.
• ${\displaystyle ee'=e'}$ eftersom ${\displaystyle e}$ är ett neutralt element.

Alltså är ${\displaystyle e=e'}$.

Normerad algebra

En associativ algebra ${\displaystyle A}$ kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller

• ${\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\|y\|}$ för alla ${\displaystyle x,y\in A}$
• ${\displaystyle \|e\|=1}$ om ${\displaystyle A}$ har ett neutralt element ${\displaystyle e}$.

En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.

Exempel

Referenser

Externa länkar

• http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:310457/FULLTEXT01.pdf