Olikhet

En olikhet är ett matematiskt uttryck eller en utsaga som innehåller ett olikhetstecken.

Utsagan kan antingen vara falsk eller sann. Exempel:

3 < 4 är en sann utsaga.

3 > 4 är en falsk utsaga.

En olikhet kan även innehålla en eller flera variabler. När likhet inte tillåts (som i ovanstående exempel) kallas det att olikheten är sträng eller strikt.

Då det gäller att lösa en olikhet betyder det att man skall ta reda på för vilka värden på en viss eller vissa variabler utsagan är sann.

Egenskaper hos olikheter

Potensolikheter

En "potensolikhet" är en olikhet som innehåller termer av formen a^b där a och b är reella positiva tal eller uttryck som innehåller variabler. Några exempel är följande:

• För alla reella x är

${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.\,}$

• Om x > 0 är

${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{1/e}.\,}$

• Om x ≥ 1 är

${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.\,}$

• Om x, y, z > 0 är

${\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2.\,}$

• För godtyckliga olika reella tal a och b är

${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$

• Om x, y > 0 och 0 < p < 1 är

${\displaystyle (x+y)^{p}<x^{p}+y^{p}.\,}$

• Om x, y, z > 0 är

${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,}$

• Om a, b > 0 är

${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.\,}$

• Om a, b > 0 är

${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.\,}$

• Om a, b, c > 0 är

${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.\,}$

• Om a, b > 0 är

${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.\,}$

Exempel på olikheter

• Bessels olikhet
• Bernoullis olikhet (inom strömningsmekanik)
• Cauchy–Schwarz olikhet
• Triangelolikheten
• Termodynamikens andra huvudsats

Se även

• Ekvation

Källor