Pascals identitet

Kombinatoriskt

Pascals identitet är lätt att förstå om man betraktar den ur ett kombinatoriskt perspektiv. Eftersom ${\displaystyle {\tbinom {a}{b}}}$ är antalet sätt vi kan skapa en delmängd med b element ur en mängd med a element, tecknar ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ hur många olika distinkta delmängder med k element man kan få ur en mängd med n element.

Tag nu ett element X ur mängden med n element. För varje delmängd med k element finns då två alternativ – antingen hör X till delmängden eller så gör det inte det.

• Om X tillhör delmängden, behöver man nu endast välja k-1 element bland de n-1 som återstår för att få k stycken. Detta kan göras på ${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k-1}}}$ sätt.
• Om X inte tillhör delmängden, behöver man nu välja alla k element ur den n-1 element stora delmängd som innehåller alla element utom X. Det kan göras på ${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k}}}$ sätt.

Vi kan alltså dra slutsatsen att antalet sätt att skapa en delmängd med k element ur en mängd med n element är lika många som att skapa en delmängd med k-1 element ur en mängd med n-1 element plus antalet sätt man kan skapa en delmängd med k element ur en mängd med n-1 element.

Vilket skulle visas.

Algebraiskt

Vi skall visa att

${\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}}$

Vänsterledet kan skrivas om som

${\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}}}$

Genom att hitta minsta gemensamma nämnare och förenkla fås

${\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}={\frac {(n-k+1)n!}{(n-k+1)k!(n-k)!}}+{\frac {kn!}{k(k-1)!(n-k+1)!}}}$

${\displaystyle ={\frac {(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}}={\frac {(n+1)n!}{k!((n+1)-k)!}}={\frac {(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}}={n+1 \choose k}}$

Vilket skulle visas