Polylogaritmen

Inom matematiken är Polylogaritmen en speciell funktion som definieras som

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots \,.}$

Speciella värden

1. Då s är ett negativt heltal är polylogaritmen en rationell funktion av z:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}\,}$

och i allmänhet

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z\,{\partial \over \partial z}\right)^{n}{z \over {1-z}}=}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}k!\,S(n\!+\!1,\,k\!+\!1)\left({z \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots )\,,}$

där S(n,k) är Stirlingtalen av andra ordningen .

2.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)\,,}$

där ζ är Riemanns zetafunktion. Inga liknande formler är kända för högre ordningar, men några något mer komplicerade formler är

${\displaystyle \operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24}}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\,\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})\,,}$

som innehåller den alternerande dubbelsumman ${\displaystyle \scriptstyle \zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})~=\,\sum _{m>n>0}\,(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}}$. I allmänhet gäller för heltal n ≥ 2

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},\left\{1\right\}^{n-2})\,,}$

där ζ(s₁, ..., s_k) är multipel-zetafunktionen, exempelvis

${\displaystyle \operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},1,1,1)\,.}$

3. Direkt ur polylogaritmens definition följer att

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^{p}e^{2\pi imk/p}\,\zeta (s,{\tfrac {k}{p}})\qquad (m=1,2,\dots ,p-1)\,,}$

där ζ är Hurwitzs zetafunktion.

Integralrepresentationer

För alla komplexa s och z gäller

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1\!-\!s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t\,-\,t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}\,(e^{2\pi t}-1)}}\,\mathrm {d} t.}$

Relation till andra funktioner

• Då z=1 blir polylogaritmen Riemanns zetafunktion:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)\qquad ({\textrm {Re}}(s)>1)\,.}$

• Polylogaritmen är även relaterad till Dirichlets etafunktion och Dirichlets betafunktion:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s)\,,}$

och

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\,\eta (s)\pm i\,\beta (s)\,.}$

• Polylogaritmen är ett specialfall av ofullständiga polylogaritmen:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z)\,.}$

• Polylogaritmen är ett specialfall av Lerchs transcendent:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\,\Phi (z,s,1)\,.}$

• Polylogaritmen är också relaterad till Hurwitzs zetafunktion:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1\!-\!s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \!\left(1\!-\!s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \!\left(1\!-\!s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],}$

utom då s=0,1,2,...

• Polylogaritmen är relaterad till Bernoullipolynomen emligt

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(-1)^{n}\,\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \over n!}\,B_{n}(x)\,,}$

där 0 ≤ Re(x) < 1 om Im(x) ≥ 0, och 0 < Re(x) ≤ 1 om Im(x) < 0.

• Legendres chifunktion χ_s(z) kan skrivas med hjälp av polylogaritmen::

${\displaystyle \chi _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{s}(z)-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].}$

• Polylogaritmen av heltalsordning kan skrivas med hjälp av generaliserade hypergeometriska funktionen:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=z\;_{n+1}F_{n}(1,1,\dots ,1;\,2,2,\dots ,2;\,z)\qquad (n=0,1,2,\ldots )~}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=z\;_{n}F_{n-1}(2,2,\dots ,2;\,1,1,\dots ,1;\,z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )~.}$

• Inversa tangensintegralen Ti_s(z) är relaterad till polylogaritmen enligt

${\displaystyle Ti_{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}(iz)-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].}$

Av det här följer:

${\displaystyle Ti_{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad Ti_{1}(z)=\arctan z,\quad Ti_{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}\,\mathrm {d} t,}$

${\displaystyle \quad \ldots ~,\quad Ti_{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{Ti_{n}(t) \over t}\,\mathrm {d} t\,.}$

Gränsvärden

${\displaystyle \lim _{|z|\rightarrow 0}\operatorname {Li} _{s}(z)=z}$

${\displaystyle \lim _{|\mu |\rightarrow 0}\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1\!-\!s)\,(-\mu )^{s-1}\qquad (\mathrm {Re} (s)<1)}$

${\displaystyle \lim _{\mathrm {Re} (\mu )\rightarrow \infty }\operatorname {Li} _{s}(-e^{\mu })=-{\mu ^{s} \over \Gamma (s+1)}\qquad (s\neq -1,-2,-3,\ldots )}$

${\displaystyle \lim _{\mathrm {Re} (\mu )\rightarrow \infty }\operatorname {Li} _{-n}(e^{\mu })=-(-1)^{n}\,e^{-\mu }\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$

${\displaystyle \lim _{\mathrm {Re} (s)\rightarrow \infty }\operatorname {Li} _{s}(z)=z}$

${\displaystyle \lim _{\mathrm {Re} (s)\rightarrow -\infty }\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1\!-\!s)\,(-\mu )^{s-1}\qquad (-\pi <\mathrm {Im} (\mu )<\pi )}$

${\displaystyle \lim _{\mathrm {Re} (s)\rightarrow -\infty }\operatorname {Li} _{s}(-e^{\mu })=\Gamma (1\!-\!s)\left[(-\mu -i\pi )^{s-1}+(-\mu +i\pi )^{s-1}\right]\qquad (\mathrm {Im} (\mu )=0)}$

Övrigt

Definiera ${\displaystyle \scriptstyle \rho \,=\,{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}$. Då gäller

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho ^{6})=4\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{3})+3\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{2})-6\operatorname {Li} _{2}(\rho )+{\tfrac {7}{30}}\pi ^{2}}$

och

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho )={\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\rho .}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Polylogarithm, 4 november 2013.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Polylogaritmen.
  Bilder & media