Primideal

Ett primideal är ett ideal P ≠ R i en kommutativ ring R, sådant att:

${\displaystyle ab\in P\implies a\in P\lor b\in P}$

för alla a och b i R.

Om ringen R inte är kommutativ är P ett primideal, om det är ett äkta ideal och om det för ideal ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ sådana att

${\displaystyle A\cdot B\subseteq P}$

gäller att antingen ${\displaystyle A\subset P}$ eller ${\displaystyle B\subset P}$.

Samband mellan primideal och primelement

I en heltalsring H, finns en påtaglig relation mellan primideal och primelement.

Ett ideal skilt från nollidealet, ${\displaystyle P=}$ {${\displaystyle pr\;|\;r\in R}$}, är ett primideal om och endast om ${\displaystyle p}$ är ett primelement i ringen ${\displaystyle R}$.

Bevis: Med utgångspunkt ifrån att P är ett primideal och skilt från nollidealet följer direkt, att p ≠ 0 och att p ej är inverterbart. Om p|ab tillhör ab P, vilket medför att a eller b tillhör P. Detta är liktydigt med att p|a eller p|b och således att p är ett primelement.

Omvänt fås att om p är ett primelement så följer, eftersom p ≠ 0 och p ej är inverterbart, att P varken är lika med nollidealet eller H. Om ab tillhör P så är det liktydigt med att p|ab och härav följer att p|a eller p|b, det vill säga att a eller b tillhör P. Alltså är P ett primideal.

Exempel

• I ringen av heltal, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, är ett primideal antingen nollidealet ${\displaystyle \{0\}}$ eller på formen ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$ (alla multiplar av p), där p är ett primtal.
• Ett maximalt ideal är ett primideal. Det omvända gäller dock inte.

Egenskaper

• Om R är en kommutativ ring med etta och P är ett ideal i R så är P ett primideal om och endast om kvotringen R/P är ett integritetsområde.
• Varje kommutativ ring med enhet har minst ett primideal, en direkt följd av Krulls sats.
• Urbilden av ett primideal för en ringhomomorfi är ett primideal.

Källor

• McCoy, N.H. Rings and Ideals, Carus Monograph Series, No. 8. Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1948.
• Atiyah, Michael Francis; I.G. Macdonald (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley. https://archive.org/details/introductiontoco0000atiy 
• Lam, T.Y. (1991). A First Course in Noncommutative Rings. Springer Verlag. ISBN 0-387-97523-3. https://archive.org/details/firstcourseinnon0000lamt