Pythagoras sats

Den här artikeln har källhänvisningar, men eftersom det saknas fotnoter är det svårt att avgöra vilken uppgift som är hämtad var. (2020-05) Hjälp gärna till med att redigera artikeln, eller diskutera saken på diskussionssidan.

Pythagoras sats är en av matematikens mest kända satser. I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på kateterna.

Hypotenusan är sidan mittemot den räta vinkeln och därmed triangelns längsta sida. De två sidor som bildar den räta vinkeln kallas kateter.

Satsen kan skrivas som

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

där a och b är kateternas längder och c hypotenusans längd.

Satsen är uppkallad efter den grekiske matematikern Pythagoras (cirka 580–495 f.Kr.), som traditionellt tillskrivs ett tidigt bevis. Sambandet var dock känt tidigare, bland annat i Babylonien.

Cosinussatsen

Pythagoras sats är ett specialfall av cosinussatsen, som gäller för alla trianglar.

Låt a, b och c vara triangelns sidlängder och θ vinkeln mellan sidorna a och b. Då gäller

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta }$

Om θ = 90° är ${\displaystyle \cos \theta =0}$, och formeln förenklas till Pythagoras sats.

Bevis för Pythagoras sats

Pythagoras sats har ett ovanligt stort antal kända bevis. Matematikern Elisha Scott Loomis (1852–1940) samlade en omfattande mängd av dem i boken The Pythagorean Proposition. Sammanställningen omfattar 371 bevis. Av dessa bygger 109 på linjära relationer, 256 på geometriska jämförelser av areor, fyra på vektoroperationer och två på massa och hastighet.

Geometriska bevis

Ett geometriskt bevis utgår från en kvadrat med sidan a + b. I figuren nedan delas kvadraten upp på två olika sätt.

Båda uppdelningarna innehåller fyra likadana rätvinkliga trianglar. När trianglarna tas bort återstår därför lika stora areor. I den ena uppdelningen är den återstående arean a² + b² och i den andra c². Därmed följer

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Ett annat geometriskt bevis använder kvadreringsregeln ${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab}$.

I figuren består kvadraten med sidan c av en mindre kvadrat med sidan a − b och fyra rätvinkliga trianglar. Därför gäller

${\displaystyle c^{2}=(a-b)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=a^{2}+b^{2}}$

Egyptiska trianglar och pythagoreiska tripplar

En egyptisk triangel är en rätvinklig triangel vars sidolängder förhåller sig till varandra som talen 3, 4 och 5. För en sådan triangel kan sidorna betecknas med 3n, 4n och 5n, där n är ett positivt heltal. Enligt Pythagoras sats gäller då att

${\displaystyle (3n)^{2}+(4n)^{2}=(5n)^{2}\Rightarrow 9n^{2}+16n^{2}=25n^{2}}$

vilket visar att satsen gäller för alla egyptiska trianglar.

Tre positiva heltal, a, b och c, kallas för en pythagoreisk trippel (a,b,c), om a² + b² = c². Enligt en formel angiven av Euklides kan talen i en pythagoreisk trippel bildas med hjälp av uttrycken m² - n², 2mn och m² + n², där m och n är positiva heltal och m > n enligt

${\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})}$

där k är ett positivt heltal.

Exempel på pythagoreiska tripler som inte svarar mot egyptiska trianglar är tripplarna (5, 12, 13), (8, 15, 17) och (7, 24, 25).

Av resultat ovan följer också att det finns lika många pythagoreiska tripplar som det finns positiva heltal.

Utökning

Pythagoras sats gäller även omvänt, och kan då uttryckas

En triangel med sidor av längd a, b och c är rät om och endast om a²+b²=c².

En följd av denna motsats är en metod att avgöra om en triangel är rätvinklig, trubbvinklig eller spetsvinklig. Låt c väljas till den längsta av triangelns sidor och a+b>c enligt triangelolikheten. Följande påståenden gäller:

• Om a² + b² = c², så är triangeln rätvinklig.
• Om a² + b² > c², så är triangeln spetsvinklig.
• Om a² + b² < c², så är triangeln trubbvinklig.

Pythagoras sats i inre produktrum

Inom linjär algebra kan Pythagoras sats generaliseras till trianglar i inre produktrum av godtycklig dimensionalitet. Ett inre produktrum är ett vektorrum som besitter en inre produkt; Den inre produkten mäter 'vinklar' mellan vektorrummets element. Ett inre produktrum är även ett normerat rum, vars norm är given av den inre produkten:

${\displaystyle \Vert u\Vert ={\sqrt {\langle u,u\rangle }}.}$

Normen mäter 'längden' hos vektorrummets element.

Om u och v är två vektorer i ett inre produktrum, V, så är deras summa också ett element i samma rum:

${\displaystyle u,v\in V\quad \Rightarrow \quad u+v\in V}$

Vektorerna u, v och u + v bildar tillsammans en 'triangel' i vektorrummet V; Triangelns 'längsta' sida är

${\displaystyle c=\Vert u+v\Vert }$

och de 'kortaste' sidorna är

${\displaystyle a=\Vert u\Vert ,\quad b=\Vert v\Vert }$

Sambandet mellan normen och den inre produkten låter oss uttrycka normen av summan u + v enligt

${\displaystyle \Vert u+v\Vert ^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle }$

Med hjälp av sambanden ovan erhålls ett bevis för Pythagoras sats:

${\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+2\,\langle u,v\rangle +b^{2}=a^{2}+0+b^{2}}$

då den inre produkten av två ortogonala vektorer är noll.

Detta kan också formuleras som

Vektorerna u och v är ortogonala om, och endast om, normerna av vektorerna u, v och u + v är relaterade enligt Pythagoras samband:

${\displaystyle \langle u,v\rangle =0\quad \Longleftrightarrow \quad a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Se även

• Trigonometriska ettan
• Cosinussatsen
• Sfäriska cosinussatsen – för en motsvarighet inom sfärisk geometri
• Fermats stora sats (andra potenser än 2)

Referenser

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Pythagoras sats.
  Bilder & media
• Pythagoras sats exemplifierad med vätska