Rotationskropp

Skivmetoden

Skivmetoden går ut på att dela upp rotationskroppen i flera tunna skivor. När skivornas tjocklek går mot 0, går summan av alla skivornas volym mot rotationsvolymen. Skivformeln är lämplig att använda vid beräkning av rotationsvolym vid rotation kring linjer parallella mot x-axeln.

Antag att:

${\displaystyle D=\{(x,y):a\leq x\leq b,f(x)\leq y\leq g(x)\}}$

är ett område som ligger helt på en sida om linjen ${\displaystyle y=c}$.

Kroppen som uppstår, då området D roterar ett varv runt linjen ${\textstyle y=c}$, har en cirkulär tvärsnittsarea. Så länge som c inte är lika med f(x) eller g(x), kommer formen ha ett hål.

Yttre ringen har radien ${\textstyle |g(x)-c|}$ och hålet som bildas har radien ${\textstyle |f(x)-c|}$. Tvärsnittsarean ges därför av:

${\displaystyle A(x)=\pi (g(x)-c)^{2}-\pi (f(x)-c)^{2}}$.

Volymen på en skiva ges då som tvärsnittsarean:

${\displaystyle dV=(\pi (g(x)-c)^{2}-\pi (f(x)-c)^{2})\,dx}$.

och rotationsvolymen av alla skivor blir då:

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{a}^{b}|\pi (g(x)-c)^{2}-\pi (f(x)-c)^{2}|\,dx\\&=\pi \int _{a}^{b}|(g(x)-c)^{2}-(f(x)-c)^{2}|\,dx\\\end{aligned}}}$

Metoden med cylindriska skal

Metoden är lik skivmetoden, med skillnad att rotationskroppen roterar runt y-axeln istället. Man delar upp rotationskroppen i flera skal. När tjockleken på skalen går mot 0, går summan av alla skalen mot rotationsvolymen. Metoden är lämplig att använda vid beräkning av rotationsvolym vid rotation kring linjer parallella mot y-axeln.

Antag att

${\displaystyle D=\{(x,y):a\leq x\leq b,f(x)\leq y\leq g(x)\}}$

är ett område som ligger helt på en sida om linjen ${\displaystyle x=c}$.

Roterar området D ett varv kring ${\displaystyle x=c}$, fås ett cylindriskt rör, där det inre skalet har radien ${\displaystyle |x-c|}$ och höjden ${\displaystyle |g(x)-f(x)|}$.

Röret har tjockleken dx, så om röret klipps upp och viks ut så fås ungefär ett rätblock med volymen

${\displaystyle dV=2\pi |x-c|(g(x)-f(x))dx}$.

Volymen av kroppen ges då av:

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}|x-c|(g(x)-f(x))dx}$.

Rotationsvolym av oändlig längd

I teorin kan rotationskroppar som är oändligt långa ändå ha en ändlig volym (Fysiska rotationskroppar har dock alltid begränsad längd).

Arean ${\displaystyle A\,}$ av rotationskroppen av ${\displaystyle f(x)\,}$ mellan a och b, roterad runt x-axeln, är

${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

Arean ${\displaystyle A\,}$ av rotationskroppen av ${\displaystyle f(x)\,}$ mellan a och b, roterad runt y-axeln, är

${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

En sådan rotationsvolym är Torricellis trumpet, en rotationskropp av funktionen ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ roterad runt x-axeln. Rotationsvolymen mellan 1 och oändligheten, går mot π, medan arean går mot oändligheten.

Rotationsvolym med Pappos-Guldins regel

Med Pappos-Guldins regel kan man beräkna rotationsvolymen.

Om D är ett plant område som ligger helt på en sida om linjen L, då ges volymen av den kropp som uppstår, då D roteras ett varv kring L, av:

${\displaystyle V=A(D)2\pi d}$

där A(D) är arean av D och d är tyngdpunktens avstånd till rotationsaxeln.

Man kan tänka sig att då området D roteras kring linjen L så rör sig tyngdpunkten sträckan ${\textstyle 2\pi d}$. Då är det troligt att volymen av rotationskroppen ges av

D:s area gånger tyngdpunktens väg vid rotation.

Rotationsvolym på polär form

Låt:

${\displaystyle D=\{(x,y)\$ :\ \alpha \leq \phi \leq \beta ,\ 0\leq r\leq h(\phi )\}}

vara ett område där:

${\displaystyle 0\leq \alpha <\beta \leq \pi }$

Vi tittar på ett litet ytelement som är ungefär som en cirkelsektor.

${\displaystyle dA=\pi h(\phi )^{2}\cdot {d\phi \over 2\pi }={1 \over 2}r^{2}d\phi }$

där

${\displaystyle r=h(\phi )}$.

Tyngdpunkten för ytelementet ligger ${\textstyle {\frac {2r}{3}}}$ från spetsen.

Vi låter området D rotera ett varv kring x-axeln. Då kommer tyngdpunkten att röra sig sträckan ${\textstyle 2\pi \cdot {2r \over 3}\sin \phi }$.

Med Pappos-Guldins regel blir då det lilla volymelementet

${\displaystyle dV={1 \over 2}r^{2}\cdot 2\pi \cdot {2r \over 3}\sin \phi \ d\phi ={2\pi \over 3}h(\phi )^{3}\sin \phi \ d\phi }$

och därmed blir hela rotationsvolymen

${\displaystyle V={2\pi \over 3}\int _{\alpha }^{\beta }h(\phi )^{3}\sin \phi \,d\phi }$.

Volymen av ett klot

För att hitta ekvationen för ett klot, kan man hitta ekvationen för en rotationskropps volym. Man kan då använda skivmetoden.

Låter man halvcirkeln ${\textstyle f(x)=}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ rotera runt ${\textstyle y=0}$, bildas ett klot. Volymen på klotet kan då beräknas med skivmetoden.

Tvärsnittsarean blir:

${\displaystyle {\begin{aligned}A(x)&=\pi ({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}-0)^{2}-\pi (0-0)^{2}\\&=\pi ({\sqrt {R^{2}-x^{2}}})^{2}\\&=\pi (R^{2}-x^{2})\end{aligned}}}$

Rotationsvolymen blir då:

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\pi \int _{-r}^{r}(r^{2}-x^{2})\,dx\\&=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-R}^{R}\\&=\pi ((r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}})-(-(r)^{3}-{\frac {(-r)^{3}}{3}}))\\&=\pi ({\frac {6r^{3}}{3}}-{\frac {2r^{3}}{3}})\\&={\frac {4\pi r^{3}}{3}}\end{aligned}}}$

Noter

Allmänna källor

• Forsling, Göran och Neymark, Mats, "Matematisk analys en variabel", 2011, MAI (Linköpings Universitet), Liber ISBN 978-91-47-10023-1