Sluten differentialform

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-07) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En differentialform ${\displaystyle \omega =u_{1}({\bar {x}})dx_{1}+u_{2}({\bar {x}})dx_{2}+\cdots +u_{k}({\bar {x}})dx_{k}}$ av klass ${\displaystyle {\textbf {C}}^{1}}$ (minst en gång kontinuerligt deriverbar) säges vara sluten om

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}}$

eller, i annan formalism, om ${\displaystyle d\omega =0}$. d betecknar här den yttre derivatan. Notera att om ${\displaystyle \omega }$ är en k-form är ${\displaystyle d\omega }$ en k+1-form.

Vi ser att en differentialform i ${\displaystyle {\textbf {R}}^{3}}$ är sluten om och endast om det motsvarande vektorfältet är rotationsfritt (${\displaystyle \nabla \times {\bar {u}}=0}$).

Relation mellan slutna och exakta differentialformer

En exakt differentialform är alltid sluten, eftersom ${\displaystyle d^{2}\omega =0}$ för varje differentialform ${\displaystyle \omega }$.

I ett enkelt sammanhängande område, och i synnerhet i ett stjärnformat område, är varje sluten differentialform exakt enligt Poincarés lemma.

I allmänhet gäller dock inte att varje sluten differentialform är exakt, och inom topologi studeras detta med hjälp av de Rhamkohomologi.

de Rhamkohomologi

Låt M vara en mångfald, och låt mängden av k-former på M betecknas med ${\displaystyle \Omega (M)}$. Vi låter nu ${\displaystyle d_{k}}$ beteckna den yttre derivatan, verkande på k-former på M: ${\displaystyle d_{k}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)}$

Den k:te de Rhamkohomologigruppen ${\displaystyle H_{dR}^{k}(M)}$ definieras nu som ${\displaystyle {\frac {\ker(d_{k})}{im(d_{k-1})}}}$, eller med andra ord mängden av slutna differentialformer modulo exakta former.

Exempel: För en n-sfär ${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$ gäller att ${\displaystyle H_{dR}^{0}(S^{n})\cong H_{dR}^{n}(S^{n})\cong \mathbb {R} }$, medan ${\displaystyle H_{dR}^{k}(S^{n})=0}$ för alla andra k. För sådana k är alltså alla slutna differentialformer exakta.