Golv- och takfunktionerna

Golv- och takfunktionerna är två funktioner inom talteorin.

Värdet av golvfunktionen $\lfloor x\rfloor$ för något reellt tal x är det största heltal som är mindre än eller lika med x (för positiva tal x ger golvfunktionen helt enkelt heltalsdelen av x).

Exempel:

$\lfloor 2{,}9\rfloor =2$
$\lfloor 2\rfloor =2$
$\lfloor -2{,}5\rfloor =-3$

Andra beteckningssätt är $\operatorname {floor} (x)$ (av engelska floor ’golv’) och $\left[x\right]\$

Takfunktionen $\lceil x\rceil$ ger på motsvarande sätt det minsta heltal som är större än eller lika med x.

Exempel:

$\lceil 2{,}1\rceil =3$
$\lceil 2\rceil =2$
$\lceil -2{,}5\rceil =-2$

Ett annat beteckningssätt är $\operatorname {ceil} (x)$ (av engelska ceiling ’(inner)tak’).

Egenskaper

Srinivasa Aiyangar Ramanujan presenterade följande problem i Journal of the Indian Mathematical Society.

Om n är ett positivt heltal, bevisa att

(i) $\left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor$

(ii) $\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor$

(iii) $\left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .$

Användningar

Formler för primtal

Talet n är ett primtal om och endast om

\sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.

Låt r > 1 vara ett heltal, p_n det n-te primtalet, och

\alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.

Då är

p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .

Det finns ett tal θ = 1.3064... (Mills konstant) så att

\left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots

är alla primtal.

Det finns även ett tal ω = 1.9287800... med egenskapen att

\left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots

är alla primtal.

Om π(x) är antalet primtal mindre eller lika stora som x, får man följande formel som en enkel konsekvens av Wilsons sats:

\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .

Om n ≥ 2, är

\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .

Ingen av formlerna i denna sektion är dock av någon praktisk betydelse.

Se även

Stegfunktion/trappfunktion

Referenser

↑ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
↑ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
↑ Hardy & Wright, § 22.3
1 2 Ribenboim, p. 186
↑ Ribenboim, p. 181
↑ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
↑ Ribenboim, p.180 says that "Despite the nil practical value of the formulas ... [they] may have some relevance to logicians who wish to understand clearly how various parts of arithmetic may be deduced from different axiomatzations ... "
↑ Hardy & Wright, pp.344—345 "Any one of these formulas (or any similar one) would attain a different status if the exact value of the number α ... could be expressed independently of the primes. There seems no likelihood of this, but it cannot be ruled out as entirely impossible."

Externa länkar

Wikimedia Commons har media som rör Golv- och takfunktionerna.
Bilder & media

[1] Ramanujan, Question 723, Papers p. 332

[2] Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46

[3] Hardy & Wright, § 22.3

[Ribenboim,_p._186-4] 1 2 Ribenboim, p. 186

[5] Ribenboim, p. 181

[6] Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46

[7] Ribenboim, p.180 says that "Despite the nil practical value of the formulas ... [they] may have some relevance to logicians who wish to understand clearly how various parts of arithmetic may be deduced from different axiomatzations ... "

[8] Hardy & Wright, pp.344—345 "Any one of these formulas (or any similar one) would attain a different status if the exact value of the number α ... could be expressed independently of the primes. There seems no likelihood of this, but it cannot be ruled out as entirely impossible."