Omskriven polygon

En omskriven polygon eller omskriven månghörning, ibland tangentpolygon eller tangentmånghörning (dessa senare begrepp används dock också för att specifikt beteckna en polygon som tangerar en omskriven cirkel till en given "referenspolygon" i dennas hörn), är en, vanligtvis konvex, plangeometrisk figur, polygon (månghörning), vars sidor samtliga är tangenter till samma cirkel. Denna cirkel kallas polygonens inskrivna cirkel. Även konkava polygoner och stjärnpolygoner kan vara omskrivna om deras sidor, eller förlängningar av dem, tangerar samma cirkel.

Polygoner som både är omskrivbara och inskrivbara kallas bicentriska. Alla regelbundna polygoner och alla trianglar är bicentriska. Därtill kan bland annat läggas rätvinkliga drakar (drakar med de två motstående lika vinklarna räta) och likbenta tangentparallelltrapetser (alla likbenta parallelltrapetser kan inskrivas i en cirkel) – jämför figur 8.

Area

En omskriven n-hörnings area är lika med halva summan av dess sidlängder (det vill säga dess semiperimeter) multiplicerat med den inskrivna cirkelns radie:

${\displaystyle Arean=r\cdot \sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{2}}=r\cdot s}$

där ${\displaystyle a_{k}}$ betecknar längden av sidan ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle r}$ den inskrivna cirkelns radie och ${\displaystyle s=\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{2}}}$ polygonens semiperimeter.

Detta följer direkt ur att en omskriven polygon kan delas upp i trianglar som alla har höjden ${\displaystyle r}$ och basen ${\displaystyle a_{k}}$. Se exempelvis figur 1:

${\displaystyle |\triangle AIB|={\frac {|{\overline {AB}}|\cdot r}{2}}\ ,\quad |\triangle BIC|={\frac {|{\overline {BC}}|\cdot r}{2}}}$ etcetera.

Trianglar

Betrakta triangeln i figur 2. För alla punkter, som exempelvis ${\displaystyle I}$, på bisektrisen till ${\displaystyle \angle CAB}$ gäller att avståndet från punkten till de båda vinkelbenen (${\displaystyle {\overline {AC}}}$ och ${\displaystyle {\overline {AB}}}$) är detsamma, eftersom tranglarna ${\displaystyle \triangle AIT_{AB}}$ och ${\displaystyle \triangle AIT_{AC}}$ är kongruenta (båda är rätvinkliga i ${\displaystyle T_{AB}}$ respektive ${\displaystyle T_{AB}}$, ${\displaystyle {\overline {AI}}}$ är hypotenusa i båda, deras vinklar i hörnet i ${\displaystyle A}$ är lika eftersom ${\displaystyle {\overline {AI}}}$ är bisektris till ${\displaystyle \angle CAB}$). På samma sätt är avståndet från en punkt på bisektrisen till dess båda vinkelben (${\displaystyle {\overline {BC}}}$ och ${\displaystyle {\overline {AB}}}$) detsamma. För ${\displaystyle I}$, skärningspunkten mellan bisektriserna, gäller således att ${\displaystyle |{\overline {IT_{AC}}}|=|{\overline {IT_{AB}}}|=|{\overline {IT_{BC}}}|=r}$. Härav följer att en cirkel med medelpunkten i ${\displaystyle I}$ och radien ${\displaystyle r}$ tangerar alla tre sidorna i ${\displaystyle \triangle ABC}$. Att även ${\displaystyle {\overline {AI}}}$ är bisektris till ${\displaystyle \angle ACB}$ följer direkt ur av att ${\displaystyle \triangle CIT_{AC}}$ och ${\displaystyle \triangle CIT_{BC}}$ är kongruenta. Således gäller för alla trianglar att de har en inskriven cirkel med medelpunkt i skärningspunkten mellan de tre bisektriserna till triangelhörnen och således är alla trianglar omskrivna polygoner. Noteras kan att dessa tre par av kongruenta trianglar på vardera sidan av de tre bisektriserna bildar tre drakar (${\displaystyle \Delta _{\text{hörn}}}$):

${\displaystyle \Delta _{A}=AT_{AB}IT_{AC},\quad \Delta _{B}=BT_{BC}IT_{AB}\ }$ och ${\displaystyle \ \Delta _{C}=CT_{AC}IT_{BC}}$.

Övriga konvexa polygoner

En grundläggande egenskap hos omskrivna polygoner är att de, liksom triangeln i figur 2 (och som beskrevs i föregående avsnitt) kan delas upp i drakar med ett hörn i ett av polygonhörnen, två rätvinkliga hörn och ett hörn som är gemensamt för alla drakar. Exempelvis kan femhörningen i figur 3 delas upp i fem drakar (${\displaystyle \Delta _{\text{hörn}}}$):

${\displaystyle \Delta _{A}=AT_{AB}IT_{AE},\quad \Delta _{B}=BT_{BC}IT_{AB},\quad \Delta _{C}=CT_{CD}IT_{BC},\quad \Delta _{D}=DT_{DE}IT_{CD}\ }$ och ${\displaystyle \ \Delta _{E}=ET_{AE}IT_{DE}}$.

Eftersom draksidan ${\displaystyle {\overline {T_{AB}I}}}$ delas av ${\displaystyle \Delta _{A}}$ och ${\displaystyle \Delta _{B}}$, sidan ${\displaystyle {\overline {T_{BC}I}}}$ delas av ${\displaystyle \Delta _{B}}$ och ${\displaystyle \Delta _{C}}$, etcetera..., har vi att

${\displaystyle |{\overline {T_{AB}I}}|=|{\overline {T_{BC}I}}|=|{\overline {T_{CD}I}}|=|{\overline {T_{DE}I}}|=|{\overline {T_{AE}I}}|=r}$,

och eftersom alla drakarna har ett gemensamt hörn i ${\displaystyle I}$ kommer en cirkel med medelpunkt i ${\displaystyle I}$ och radien ${\displaystyle r}$ att gå genom alla drakarnas rätvinkliga hörn. Men eftersom dessa drakhörn ligger på femhörningens sidor, kommer alltså dessa sidor att vara tangenter till cirkeln, vilken alltså är inskriven i femhörningen. Vi ser också att drakarnas diagonaler dels är en linje mellan de två rätvinkliga hörnen (det vill säga tangeringspunkterna) och därmed en sida i den i cirkeln inskrivna "referenspolygonen", och dels en linje från ett av femhörningens hörn till ${\displaystyle I}$ som delar draken i två kongruenta trianglar och därmed är bisektris till vinkeln i femhörningshörnet (och även till vinkeln i ${\displaystyle I}$). Det senare medför att, eftersom ${\displaystyle I}$ är gemensamt hörn i drakarna, alla bisektriserna till hörnvinklarna skär varandra i en gemensam punkt – den inskrivna cirkelns medelpunkt.

I alla regelbundna polygoner (med alla sidor liklånga och alla hörnvinklar lika) kan en cirkel inskrivas, eftersom en regelbunden polygon kan delas upp i kongruenta likbenta trianglar begränsade av en polygonsida och bisektriserna till de vid denna sida stående polygonhörnen (jämför figur 4).

Stjärnpolygoner och konkava polygoner

• 
  Omskriven femuddig stjärnpolygon.
• 
  Konkav omskriven fyrhörning erhållen genom att stryka tangenten ${\displaystyle {\overline {DE}}}$ i den femuddiga stjärnan i figuren till vänster.

Referenser

• G. Wilson, Overview of Section 2.2 Circles Inscribed in Polygons på University of Georgia.