Trapetsregeln

Alternativa uttryck för den sammansatta trapetsregeln

Eftersom högra funktionsvärdet i ett delintervall är identiskt med vänstra funktionsvärdet i nästa delintervall, kan man slå samman dessa. Man skrivar då ofta om formeln som:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx h\left[{\frac {1}{2}}f(x_{1})+\left(\sum _{k=2}^{N}f(x_{k})\right)+{\frac {1}{2}}f(x_{N+1})\right]={\frac {h}{2}}\left[f(x_{1})+\left(2\sum _{k=2}^{N}f(x_{k})\right)+f(x_{N+1})\right]}$

eller som:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {h}{2}}\sum _{k=1}^{N+1}w_{k}f(x_{k})}$

där

${\displaystyle w_{k}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{då }}k=1{\mbox{ eller }}N+1\\2,&{\mbox{då }}2\leq k\leq N.\end{matrix}}\right.}$

Notera att när formeln skrivs på den här formen låter man ofta ${\textstyle N}$ (eller ${\textstyle n}$) beteckna antalet noder (= antalet intervallgränser) istället för antalet delintervall. ${\textstyle N+1}$ ersätts då med ${\textstyle N}$ i formlerna.

Varierande intervallängd

Om intervallängden ${\displaystyle h_{k}=x_{k+1}-x_{k}}$ inte är konstant kan den sammansatta trapetsregeln uttryckas på sin allmänna form,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx \sum _{k=1}^{N}(x_{k+1}-x_{k}){\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}.}$