Ultraprodukt

Inom matematiken, särskilt inom modell- och mängdteori, används ultraprodukter för att, givet en mängd ${\displaystyle A_{i},i\in I}$ av strukturer av viss signatur, konstruera en struktur ${\displaystyle A=\Pi _{\mathcal {F}}A_{i}}$ sådan att varje första ordningens påstående är sant i A omm det är sant i "många" av strukturerna ${\displaystyle A_{i}}$.

Definition

Låt ${\displaystyle A_{i},i\in I}$ vara strukturer av en fix signatur, och ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ett ultrafilter på I. Låt ${\displaystyle S=\Pi _{i\in I}A_{i}}$ vara direkta produkten av strukturerna. Definiera en ekvivalensrelation ${\displaystyle \equiv }$på ${\displaystyle S}$ genom ${\displaystyle (a_{i})\equiv (b_{i})}$ omm ${\displaystyle \{i\in I\mid a_{i}=b_{i}\}\in {\mathcal {F}}}$. Låt ${\displaystyle A}$ vara kvoten av ${\displaystyle S}$ med avseende på ${\displaystyle \equiv }$. Tolkningen av en relationssymbol R i A ges av

${\displaystyle A\models R(a^{1},...,a^{n})}$ omm ${\displaystyle \{i\in I\mid A_{i}\models R(a_{i}^{1},...,a_{i}^{n}\}\in {\mathcal {F}}}$

där ${\displaystyle a^{j}=(a_{i}^{j})}$. Funktionssymboler och konstanter tolkas analogt. Man visar att detta ger en väldefiniterad struktur, kallad ultraprodukten av strukturerna ${\displaystyle A_{i}}$ med avseende på ultrafiltret ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Om alla strukturerna i den mängd man tar ultraprodukten över är lika kallas produkten en ultrapotens

Exempel

• Ultraprodukten av en mängd strukturer ${\displaystyle A_{i},i\in I}$ med avseende på ett principalt ultrafilter med stöd i ${\displaystyle j\in I}$ är isomorf med ${\displaystyle A_{j}}$
• Ultraprodukten av en mängd kroppar ${\displaystyle K_{i}}$ där ${\displaystyle K_{i}}$ har karakteristik ${\displaystyle p_{i}}$, det i:te primtalet, med avseende på ett icke-principalt ultrafilter, är en kropp av karakteristik 0. Detta ger en formell tolkning av Lefschetz princip i algebraisk geometri.
• Ultrapotensen av en oändlig mängd av kopior av de reella talen med avseende på ett icke-principalt ultrafilter är en s.k. icke-standardmodell för de reella talen, i vilken man kan konstruera icke-standardanalys.