Arg maks

Matematikte, maksimumun argümanları (kısaca arg maks (arg max) veya argmaks (argmax)) ve minimumun argümanları (kısaca arg min veya argmin), bir fonksiyonun çıktı değerinin sırasıyla maksimize ve minimize edildiği girdi noktalarıdır. Argümanlar fonksiyonun tanım kümesi üzerinde tanımlanırken, çıktı fonksiyonun değer kümesinin bir parçasıdır.

Tanım

Keyfi bir küme ${\displaystyle X}$, tam sıralı bir küme ${\displaystyle Y}$ ve bir ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ fonksiyonu verildiğinde; ${\displaystyle X}$'in bir ${\displaystyle S}$ alt kümesi üzerindeki ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~{\text{her }}s\in S{\text{ için }}f(s)\leq f(x)\}.}$

Eğer ${\displaystyle S=X}$ ise veya ${\displaystyle S}$ bağlamdan açıkça anlaşılıyorsa, ${\displaystyle S}$ genellikle yazılmaz; örneğin ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~{\text{her }}s\in X{\text{ için }}f(s)\leq f(x)\}.}$

Diğer bir deyişle ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$, ${\displaystyle f(x)}$'in fonksiyonun en büyük değerine (eğer varsa) ulaştığı ${\displaystyle x}$ noktalarının kümesidir.

${\displaystyle \operatorname {Argmax} }$ boş küme, tek elemanlı küme veya birden fazla eleman içeren bir küme olabilir.

Konveks analiz ve varyasyonel analiz alanlarında, ${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ kümesinin genişletilmiş reel sayılar olduğu özel durumda biraz daha farklı bir tanım kullanılır. Bu durumda, eğer ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle S}$ üzerinde özdeş olarak ${\displaystyle \infty }$'a eşitse ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing }$ (yani, ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty$ :=\varnothing } ) olarak tanımlanır. Aksi takdirde ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$ yukarıdaki gibi tanımlanır; bu durumda ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$ şu şekilde de yazılabilir:

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}}$

burada, ${\displaystyle \sup {}_{S}f}$ içeren bu eşitliğin sadece ${\displaystyle f}$'nin ${\displaystyle S}$ üzerinde özdeş olarak ${\displaystyle \infty }$ olmadığı durumlarda geçerli olduğu vurgulanır.

Örnekler ve özellikler

Örneğin, eğer ${\displaystyle f(x)}$ fonksiyonu ${\displaystyle 1-|x|}$ ise, ${\displaystyle f}$ maksimum değeri olan ${\displaystyle 1}$'e yalnızca ${\displaystyle x=0}$ noktasında ulaşır. Dolayısıyla:

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ operatörü, ${\displaystyle \max }$ operatöründen farklıdır. ${\displaystyle \max }$ operatörü, aynı fonksiyon verildiğinde, fonksiyonun o değere ulaşmasını sağlayan nokta veya noktalar yerine fonksiyonun maksimum değerini döndürür; diğer bir deyişle

${\displaystyle \max _{x}f(x)}$, ${\displaystyle \{f(x)~:~{\text{her }}s\in S{\text{ için }}f(s)\leq f(x)\}}$ kümesindeki elemandır.

${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ gibi, ${\displaystyle \max }$ da boş küme (maksimumun tanımsız olduğu durumda) veya tek elemanlı bir küme olabilir; ancak ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$'tan farklı olarak ${\displaystyle \operatorname {max} }$ birden fazla eleman içeremez: örneğin, eğer ${\displaystyle f(x)}$ fonksiyonu ${\displaystyle 4x^{2}-x^{4}}$ ise, ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\}}$ olur, fakat ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$ olur; çünkü fonksiyon ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ kümesinin her elemanında aynı değere ulaşır.

Eşdeğer olarak, eğer ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle f}$'nin maksimumu ise, ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ maksimumun düzey kümesidir (level set):

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}$

Bu ifadeyi şu basit özdeşliği verecek şekilde yeniden düzenleyebiliriz:

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}$

Eğer maksimuma tek bir noktada ulaşılıyorsa, bu noktaya genellikle tek ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ denir ve ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ bir noktalar kümesi olarak değil, bir nokta olarak kabul edilir. Örneğin,

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

(tek elemanlı ${\displaystyle \{5\}}$ kümesi yerine) yazılır, çünkü ${\displaystyle x(10-x)}$'in maksimum değeri ${\displaystyle 25}$'tir ve bu değer ${\displaystyle x=5}$ için gerçekleşir. Ancak, maksimuma birçok noktada ulaşıldığı durumlarda ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ bir noktalar kümesi olarak ele alınmalıdır. Örneğin

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$

çünkü ${\displaystyle \cos x}$'in maksimum değeri ${\displaystyle 1}$'dir ve bu aralıkta bu değer ${\displaystyle x=0,2\pi }$ veya ${\displaystyle 4\pi }$ için gerçekleşir. Tüm reel sayı doğrusu üzerinde ise:

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}$ yani sonsuz bir kümedir.

Fonksiyonlar genel olarak bir maksimum değere ulaşmak zorunda değildir, dolayısıyla ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ bazen boş küme olabilir; örneğin, ${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,}$ çünkü ${\displaystyle x^{3}}$ reel sayı doğrusunda sınırsızdır. Başka bir örnek olarak, ${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,}$ verilebilir; ${\displaystyle \arctan }$ fonksiyonu ${\displaystyle \pm \pi /2}$ ile sınırlı olmasına rağmen bu böyledir. Ancak, uç değer teoremi (extreme value theorem) gereği, kapalı bir aralık üzerinde sürekli ve reel değerli bir fonksiyonun bir maksimumu ve dolayısıyla boş olmayan bir ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ kümesi vardır.

Ayrıca bakınız

• Bir fonksiyonun argümanı
• Maksimum ve minimum
• Mod
• Optimizasyon
• Kernel

Notlar

Kaynakça

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

Dış bağlantılar

• PlanetMath'te Arg maks