Bell serisi

Matematik'te, Bell serisi formal kuvvet serisi aritmetik fonksiyon özellikleri çalışmasında kullanılır. Bell serisi Eric Temple Bell tarafından geliştirildi.

Verilen aritmetik fonksiyon ${\displaystyle f}$ ve bir asal ${\displaystyle p}$ ile formel kuvvet serisi ${\displaystyle f_{p}(x)}$, Bell serisi ${\displaystyle f}$ modül ${\displaystyle p}$ olarak adlandırılır:

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}$

iki çarpım fonksiyonu olarak gösterilebilir, eşdeğeri Bell serisidir; Bu bazen teklik teoremi olarak adlandırılır. Verilen çarpım fonksiyonu ${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$,dir ama sadece ve sadece ${\displaystyle f=g}$ ise; bütün ${\displaystyle p}$ asalları için

${\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}$

iki seri çarpımı (çarpım teoremidir.) ; herhangi iki aritmetik fonksiyon ${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$,${\displaystyle h=f*g}$ yazılırsa buna Dirichlet konvolusyon teoremi denir. her asal için ${\displaystyle p}$ için,:

${\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}$

Özellikle, bir Dirichlet ters önemsiz Bell serisi tarafından bulunur.

Eğer ${\displaystyle f}$ 'tamamen çarpımsal ise;

${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}$

Örnekler

Bilinen bazı aritmetik fonksiyonların, bir tablo halinde ifadesi:

• Moebius fonksiyonu ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}$'dır
• Euler Totient ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}}$'dır.
• çarpım eşdeğerliği Dirichlet konvolusyon ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{p}(x)=1}$'dır.
• Liouville fonksiyonu ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}}$'dır
• kuvvet fonksiyonu Id_k ${\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}}$'dır.burada, Id_k tam çarpım fonksiyonu ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$'dır
• bölme fonksiyonu ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}}$'dır.

Kaynakça

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3