Bell serisi

Matematik'te, Bell serisi formal kuvvet serisi aritmetik fonksiyon özellikleri çalışmasında kullanılır. Bell serisi Eric Temple Bell tarafından geliştirildi.

Verilen aritmetik fonksiyon $f$ ve bir asal $p$ ile formel kuvvet serisi $f_{p} (x)$ , Bell serisi $f$ modül $p$ olarak adlandırılır:

f_{p} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} f (p^{n}) x^{n} .

iki çarpım fonksiyonu olarak gösterilebilir, eşdeğeri Bell serisidir; Bu bazen teklik teoremi olarak adlandırılır. Verilen çarpım fonksiyonu $f$ ve $g$ ,dir ama sadece ve sadece $f = g$ ise; bütün $p$ asalları için

f_{p} (x) = g_{p} (x)

iki seri çarpımı (çarpım teoremidir.) ; herhangi iki aritmetik fonksiyon $f$ ve $g$ , $h = f * g$ yazılırsa buna Dirichlet konvolusyon teoremi denir. her asal için $p$ için,:

h_{p} (x) = f_{p} (x) g_{p} (x) .

Özellikle, bir Dirichlet ters önemsiz Bell serisi tarafından bulunur.

Eğer $f$ 'tamamen çarpımsal ise;

f_{p} (x) = \frac{1}{1 - f (p) x} .

Örnekler

Bilinen bazı aritmetik fonksiyonların, bir tablo halinde ifadesi:

Moebius fonksiyonu $μ$ , $μ_{p} (x) = 1 - x .$ 'dır
Euler Totient $ϕ$ $ϕ_{p} (x) = \frac{1 - x}{1 - p x}$ 'dır.
çarpım eşdeğerliği Dirichlet konvolusyon $δ$ $δ_{p} (x) = 1$ 'dır.
Liouville fonksiyonu $λ$ $λ_{p} (x) = \frac{1}{1 + x}$ 'dır
kuvvet fonksiyonu Id_k $({Id}_{k})_{p} (x) = \frac{1}{1 - p^{k} x}$ 'dır.burada, Id_k tam çarpım fonksiyonu ${Id}_{k} (n) = n^{k}$ 'dır
bölme fonksiyonu $σ_{k}$ $(σ_{k})_{p} (x) = \frac{1}{1 - (1 + p^{k}) x + p^{k} x^{2}}$ 'dır.

Kaynakça

Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3