Elementer matris

Bu maddede kaynak listesi bulunmasına karşın metin içi kaynakların yetersizliği nedeniyle bazı bilgilerin hangi kaynaktan alındığı belirsizdir. Lütfen kaynakları uygun biçimde metin içine yerleştirerek maddenin geliştirilmesine yardımcı olun. (Eylül 2026) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin)

Doğrusal cebirde, bir birim matrisde yalnızca bir tane elementer satır işlem yapılarak elde edilen matrislere elementer matris denir. m boyutunda bir birim matrisin üzerinde e elementer satır işlemi yapılarak elde edilen elementer matris ${\displaystyle e(I_{m})}$ şeklinde gösterilir.

Elementer Satır İşlemleri

Üç çeşit elementer satır işlemi vardır:

Yer değiştirme

Matrisin iki satırdaki tüm elemanların yerlerini değiştirilmesi.

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

Çarpma

Matrisdeki bir satırın her elemanın, sıfır dışında bir katsayı ile çarpılması.

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}}$

Toplama

Matrisdeki satırlardan birinin, bir katının diğer bir satıra eklenmesi.

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}}$

Elementer Matrislerin Tersi

Her elementer matris tersinirdir ve

${\displaystyle (e(I_{m}))^{-1}=e^{-1}(I_{m})}$

yani ${\displaystyle e(I_{m})}$ elementer matrisinin tersini almak yerine, ${\displaystyle I_{m}}$ birim matrisi üzerinde ${\displaystyle e}$ elementer işlemini tersi uygulanabilir. Elementer işlemlerin tersi şöyle tanımlanmıştır:

Yer değiştirmenin tersi

${\displaystyle e:R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$ ise

${\displaystyle e^{-1}:R_{j}\leftrightarrow R_{i}}$

Yani yer değiştirme işleminin tersi kendisine eşittir çünkü ${\displaystyle R_{i}}$ ve ${\displaystyle R_{j}}$ satırlarının yerini değiştirmek ile ${\displaystyle R_{j}}$ ve ${\displaystyle R_{i}}$ satırlarının yerini değiştirmek aynı şeye denk gelmektedir. Bundan dolayı da yer değiştirme işlemi uygulanarak elde edilen elementer matrislerin tersi kendilerine eşittir.

Çarpmanın tersi

${\displaystyle e:kR_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}}$ ise

${\displaystyle e^{-1}:{\frac {1}{k}}R_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}}$

Toplamanın tersi

${\displaystyle e:R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}}$ ise

${\displaystyle e^{-1}:R_{i}+(-k)R_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}}$

Kaynakça

• Arif Sabuncuoğlu lineer cebir ders notları, Mat201, TOBB ETU