Disk çarpımı

Matematiğin bir kolu olan, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinde disk çarpımı ya da polidisk, düzlemdeki disklerin Kartezyen çarpımından oluşan ve karmaşık koordinat uzayında yer alan kümelere verilen addır.

Tanım

Karmaşık düzlemde z noktası merkezli ve r yarıçaplı açık disk ${\displaystyle D(z,r)}$ ile gösterilirse, o zaman açık disk çarpımı, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$'de aşağıdaki biçime sahip bir kümedir:

${\displaystyle D(z_{1},r_{1})\times \dots \times D(z_{n},r_{n}).}$

Daha matematiksel bir ifadeyle ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ merkezli ve ${\displaystyle r=(r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n})\in \left(\mathbb {R} ^{+}\right)^{n}}$ yarıçap vektörlü bir disk çarpımı ${\displaystyle P(z,r)}$ aşağıdaki gibi tanımlanır:

${\displaystyle P(z,r)=\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert z_{k}-w_{k}\vert <r_{k},\forall k=1,\dots ,n\}}$

Eğer merkez noktası ${\displaystyle z}$ orijinse ve ${\displaystyle r=(1,1,\cdots ,1)}$ ise, disk çarpımına birim disk çarpımı denilir.

Notlar

• Disk çarpımı, Cⁿ'deki ${\displaystyle \{w\in \mathbf {C} ^{n}\mid \lVert z-w\rVert <r\}}$ olarak tanımlanan açık yuvar ile karıştırılmamalıdır. Burada norm, Cⁿ'deki Öklid uzaklığıdır.
• ${\displaystyle n>1}$ olduğunda, açık yuvarlar ve açık Disk çarpımları biholomorf olarak denk değildir, yani ikisi arasında biholomorf gönderim yoktur. Bu sonuç, 1907'de Poincaré tarafından ikisinin otomorfizm grubunun Lie grubu olarak değişik boyutlara sahip olduğu gösterilerek kanıtlanmıştır. Burada, Poincaré'nin elde ettiği sonuç (Poincaré teoremi), karmaşık düzlemde varolan Riemann tasvir teoreminin yüksek kompleks boyutlara taşınmasının akla gelen en basit iki bölge arasında bile olmayacağını göstermektedir. Daha sonra başka yöntemlerle daha basit kanıtları elde edilen bu sonuç, bir boyutlu geleneksel karmaşık analizdeki her sonucun çok değişkenli karmaşık analizde geçerli olmayacağını Hartogs teoremiyle beraber gösteren ilk sonuçlardandır.

Ayrıca bakınız

• Analitik çokyüzlü

Kaynakça

• Steven G Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3.
• John P D'Angelo, D'Angelo P D'Angelo, Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces, CRC Press, 1993, ISBN 0-8493-8272-6.