Stokes sınır tabakası

Çözüm

Periyodiklik nedeniyle başlangıç koşuluna gerek yoktur. Hem denklem hem de sınır koşulları doğrusal (lineer) olduğundan, hız bir karmaşık fonksiyonun reel kısmı olarak yazılabilir:

${\displaystyle u=U\Re \left[e^{i\omega t}f(y)\right]}$

çünkü ${\displaystyle \cos \omega t=\Re \left[e^{i\omega t}\right]}$'tir. Bunu kısmi diferansiyel denklemde yerine koymak, denklemi adi diferansiyel denkleme indirger:

${\displaystyle f''-{\frac {i\omega }{\nu }}f=0}$

sınır koşulları ile birlikte:

${\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0}$

Yukarıdaki problemin çözümü şöyledir:

${\displaystyle f(y)=\exp \left[-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}y\right]}$

${\displaystyle u(y,t)=Ue^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)}$

Salınım yapan levha tarafından oluşturulan bozulma, akışkan boyunca enine bir dalga olarak ilerler, ancak üstel faktör nedeniyle büyük ölçüde sönümlenir.

Bu dalganın nüfuz derinliği (penetration depth) ${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$, salınım frekansı ile azalır, ancak akışkanın kinematik viskozitesi ile artar. Akışkan tarafından levhaya uygulanan birim alan başına kuvvet şöyledir:

${\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}={\sqrt {\rho \omega \mu }}U\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

Levhanın salınımı ile oluşturulan kuvvet arasında bir faz farkı vardır.

Sınır yakınında girdaplık salınımları

Stokes'un salınımlı Stokes akışı çözümüyle ilgili önemli bir gözlem, girdaplık (vorticity) salınımlarının ince bir sınır tabakasıyla sınırlı olması ve duvardan uzaklaştıkça üstel olarak sönümlenmesidir. Bu gözlem, türbülanslı sınır tabakası durumu için de geçerlidir.

Genellikle akışkan hacminin büyük kısmını oluşturan Stokes sınır tabakasının dışında, girdaplık salınımları ihmal edilebilir. İyi bir yaklaşıklama ile, akış hızı salınımları sınır tabakası dışında girdapsızdır (irrotational) ve hareketin salınımlı kısmına potansiyel akış teorisi uygulanabilir. Bu durum, söz konusu akış problemlerinin çözümünü önemli ölçüde basitleştirir ve genellikle ses dalgaları ve su dalgalarının girdapsız akış bölgelerinde uygulanır.

Üst duvarla sınırlandırılmış akışkan

Akışkan alanı, ${\displaystyle y=h}$ yüksekliğinde bulunan sabit bir üst duvarla sınırlandırılmışsa, akış hızı şu şekilde verilir:

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2(\cosh 2\lambda h-\cos 2\lambda h)}}[e^{-\lambda (y-2h)}\cos(\omega t-\lambda y)+e^{\lambda (y-2h)}\cos(\omega t+\lambda y)-e^{-\lambda y}\cos(\omega t-\lambda y+2\lambda h)-e^{\lambda y}\cos(\omega t+\lambda y-2\lambda h)]}$

burada ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\omega /(2\nu )}}}$'dir.

Serbest yüzeyle sınırlandırılmış akışkan

Akışkan alanı aralığının ${\displaystyle 0<y<h}$ olduğunu ve ${\displaystyle y=h}$'nin bir serbest yüzeyi (free surface) temsil ettiğini varsayalım. Bu durumda, 1968'de Chia-Shun Yih tarafından gösterildiği gibi çözüm şöyledir:

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U\cos h/\delta \,\mathrm {cosh} \,h/\delta }{2(\cos ^{2}h/\delta +\mathrm {sinh} ^{2}h/\delta )}}\Re \left\{W+W^{*}-i\mathrm {tanh} \,h/\delta \,\tan h/\delta \,(W-W^{*})\right\},\qquad W=\mathrm {cosh} [(1+i)(h-y)/\delta ]e^{i\omega t}}$

burada ${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$ ve ${\displaystyle W^{*}}$, ${\displaystyle W}$'nin karmaşık eşleniğidir.

Düz rijit bir levha yakınında salınımlı basınç gradyanı kaynaklı akış

Levhanın sabit tutulduğu salınımlı bir uzak alan akışı durumu, çözümlerin doğrusal süperpozisyonu kullanılarak salınımlı levha için önceki çözümden kolayca oluşturulabilir.

Levhadan çok uzakta düzgün bir hız salınımı ${\displaystyle u(\infty ,t)=U_{\infty }\cos \omega t}$ ve levhada sıfır hız ${\displaystyle u(0,t)=0}$ olduğunu düşünün. Orijinal problemdeki durgun akışkanın aksine, burada sonsuzdaki basınç gradyanı zamanın harmonik bir fonksiyonu olmalıdır. Çözüm o zaman şu şekilde verilir:

${\displaystyle u(y,t)=U_{\infty }\left[\,\cos \omega t-{\text{e}}^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\,\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)\right],}$

bu ifade, hareketsiz bir duvar için kaymazlık koşuluna uygun olarak y = 0 duvarında sıfırdır.

Bu durumla genellikle katı bir duvarın yakınındaki ses dalgalarında veya su dalgalarında deniz tabanına yakın akışkan hareketinde karşılaşılır. Hareketsiz bir duvar yakınındaki salınımlı akış için girdaplık, salınımlı levha durumundaki girdaplığa eşit ancak zıt işaretlidir.

Burulma salınımı

Yarıçapı ${\displaystyle a}$ olan ve ${\displaystyle \Omega \cos \omega t}$ açısal hızıyla burulma salınımı yapan sonsuz uzunlukta bir silindir düşünün; burada ${\displaystyle \omega }$ frekanstır. Bu durumda hız, başlangıçtaki geçici fazdan sonra şu değere yaklaşır:

${\displaystyle v_{\theta }=a\Omega \ \Re \left[{\frac {K_{1}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

burada ${\displaystyle K_{1}}$, ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonudur. Bu çözüm reel argümanla şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\theta }\left(r,t\right)&=\Psi \left\lbrace \left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)+{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\cos \left(t\right)\right.\\&+\left.\left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)-{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\sin \left(t\right)\right\rbrace \\\end{aligned}}}$

burada

${\displaystyle \Psi =\left[{\textrm {kei}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)+{\textrm {ker}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)\right]^{-1},}$

${\displaystyle \mathrm {kei} }$ ve ${\displaystyle \mathrm {ker} }$ Kelvin fonksiyonlarıdır ve ${\displaystyle R_{\omega }}$, ${\displaystyle R_{\omega }=\omega a^{2}/\nu }$ olarak tanımlanan boyutsuz salınımlı Reynolds sayısıdır; burada ${\displaystyle \nu }$ kinematik viskozitedir.

Eksenel salınım

Eğer silindir ${\displaystyle U\cos \omega t}$ hızıyla eksenel yönde salınım yaparsa, hız alanı şöyledir:

${\displaystyle u=U\ \Re \left[{\frac {K_{0}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

burada ${\displaystyle K_{0}}$, ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonudur.