(78,22,6)-Blockplan

Der (78,22,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 78 × 78 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 22 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 78, k = 22, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 78, k = 22, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften:

Er besteht aus 78 Blöcken und 78 Punkten.
Jeder Block enthält genau 22 Punkte.
Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten.
Jeder Punkt liegt auf genau 22 Blöcken.
Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

Es existieren mindestens drei nichtisomorphe 2-(78,22,6) - Blockpläne. Eine dieser Lösungen ist:

Lösung 1 mit der Signatur 52·1, 26·2. Sie enthält 13 Ovale der Ordnung 4.

Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

Lösung 1

  1   2   4   5  10  11  13  16  19  20  29  32  33  44  50  52  57  63  65  70  76  78
  2   4  10  14  16  19  20  21  22  25  31  37  39  42  45  46  60  61  64  73  74  77
  2   4  10  18  24  26  27  29  32  33  34  35  38  47  48  51  55  58  59  73  74  77
  8   9  12  16  19  20  34  35  38  40  42  45  46  47  48  51  54  56  62  70  76  78
  8   9  12  21  22  25  29  32  33  41  43  49  53  55  58  59  60  61  64  70  76  78
  2   4  10  15  17  23  28  30  36  42  45  46  55  58  59  66  67  69  70  75  76  78
  1   2   3   5   6  11  12  17  20  21  30  33  34  40  45  51  53  58  64  66  71  77
  3   5  11  15  17  20  21  22  23  26  27  32  38  43  46  47  61  62  65  74  75  78
  3   5  11  14  19  25  28  30  33  34  35  36  39  48  49  52  56  59  60  74  75  78
  9  10  13  17  20  21  35  36  39  41  43  46  47  48  49  52  55  57  63  66  71  77
  9  10  13  22  23  26  30  33  34  42  44  50  54  56  59  60  61  62  65  66  71  77
  3   5  11  16  18  24  29  31  37  43  46  47  56  59  60  66  67  68  70  71  76  77
  2   3   4   6   7  12  13  18  21  22  31  34  35  41  46  52  54  59  65  67  72  78
  4   6  12  14  16  18  21  22  23  24  28  33  39  44  47  48  53  62  63  66  75  76
  4   6  12  15  20  26  27  29  31  34  35  36  37  40  49  50  57  60  61  66  75  76
  1  10  11  18  21  22  27  36  37  40  42  44  47  48  49  50  56  58  64  67  72  78
  1  10  11  14  23  24  31  34  35  43  45  51  53  55  57  60  61  62  63  67  72  78
  4   6  12  17  19  25  30  32  38  44  47  48  57  60  61  67  68  69  71  72  77  78
  1   3   4   5   7   8  13  19  22  23  32  35  36  40  42  47  53  55  60  66  68  73
  5   7  13  15  17  19  22  23  24  25  27  29  34  45  48  49  54  63  64  67  76  77
  5   7  13  14  16  21  28  30  32  35  36  37  38  41  50  51  58  61  62  67  76  77
  2  11  12  19  22  23  28  37  38  41  43  45  48  49  50  51  57  59  65  66  68  73
  2  11  12  15  24  25  32  35  36  44  46  52  54  56  58  61  62  63  64  66  68  73
  5   7  13  18  20  26  31  33  39  45  48  49  58  61  62  66  68  69  70  72  73  78
  1   2   4   5   6   8   9  20  23  24  33  36  37  41  43  48  54  56  61  67  69  74
  1   6   8  16  18  20  23  24  25  26  28  30  35  46  49  50  55  64  65  68  77  78
  1   6   8  15  17  22  29  31  33  36  37  38  39  42  51  52  59  62  63  68  77  78
  3  12  13  20  23  24  29  38  39  42  44  46  49  50  51  52  53  58  60  67  69  74
  3  12  13  16  25  26  33  36  37  40  45  47  55  57  59  62  63  64  65  67  69  74
  1   6   8  14  19  21  27  32  34  46  49  50  59  62  63  66  67  69  70  71  73  74
  2   3   5   6   7   9  10  21  24  25  34  37  38  42  44  49  55  57  62  68  70  75
  2   7   9  14  17  19  21  24  25  26  29  31  36  47  50  51  53  56  65  66  69  78
  2   7   9  16  18  23  27  30  32  34  37  38  39  40  43  52  60  63  64  66  69  78
  1   4  13  21  24  25  27  30  39  40  43  45  47  50  51  52  54  59  61  68  70  75
  1   4  13  14  17  26  34  37  38  41  46  48  53  56  58  60  63  64  65  68  70  75
  2   7   9  15  20  22  28  33  35  47  50  51  60  63  64  67  68  70  71  72  74  75
  3   4   6   7   8  10  11  22  25  26  35  38  39  43  45  50  56  58  63  69  71  76
  3   8  10  14  15  18  20  22  25  26  30  32  37  48  51  52  53  54  57  66  67  70
  3   8  10  17  19  24  27  28  31  33  35  38  39  40  41  44  61  64  65  66  67  70
  1   2   5  22  25  26  27  28  31  40  41  44  46  48  51  52  55  60  62  69  71  76
  1   2   5  14  15  18  35  38  39  42  47  49  53  54  57  59  61  64  65  69  71  76
  3   8  10  16  21  23  29  34  36  48  51  52  61  64  65  68  69  71  72  73  75  76
  4   5   7   8   9  11  12  14  23  26  27  36  39  44  46  51  57  59  64  70  72  77
  4   9  11  14  15  16  19  21  23  26  31  33  38  40  49  52  54  55  58  67  68  71
  4   9  11  18  20  25  27  28  29  32  34  36  39  41  42  45  53  62  65  67  68  71
  2   3   6  14  23  26  28  29  32  40  41  42  45  47  49  52  56  61  63  70  72  77
  2   3   6  15  16  19  27  36  39  43  48  50  53  54  55  58  60  62  65  70  72  77
  4   9  11  17  22  24  30  35  37  40  49  52  53  62  65  69  70  72  73  74  76  77
  5   6   8   9  10  12  13  14  15  24  27  28  37  45  47  52  58  60  65  71  73  78
  5  10  12  14  15  16  17  20  22  24  32  34  39  40  41  50  55  56  59  68  69  72
  5  10  12  19  21  26  27  28  29  30  33  35  37  42  43  46  53  54  63  68  69  72
  3   4   7  14  15  24  29  30  33  40  41  42  43  46  48  50  57  62  64  71  73  78
  3   4   7  16  17  20  27  28  37  44  49  51  53  54  55  56  59  61  63  71  73  78
  5  10  12  18  23  25  31  36  38  40  41  50  53  54  63  70  71  73  74  75  77  78
  1   6   7   9  10  11  13  15  16  25  28  29  38  40  46  48  53  59  61  66  72  74
  6  11  13  15  16  17  18  21  23  25  27  33  35  41  42  51  56  57  60  69  70  73
  6  11  13  14  20  22  28  29  30  31  34  36  38  43  44  47  54  55  64  69  70  73
  4   5   8  15  16  25  30  31  34  41  42  43  44  47  49  51  58  63  65  66  72  74
  4   5   8  17  18  21  28  29  38  45  50  52  54  55  56  57  60  62  64  66  72  74
  6  11  13  19  24  26  32  37  39  41  42  51  54  55  64  66  71  72  74  75  76  78
  1   2   7   8  10  11  12  16  17  26  29  30  39  41  47  49  54  60  62  67  73  75
  1   7  12  16  17  18  19  22  24  26  28  34  36  42  43  52  57  58  61  70  71  74
  1   7  12  15  21  23  29  30  31  32  35  37  39  44  45  48  55  56  65  70  71  74
  5   6   9  16  17  26  31  32  35  42  43  44  45  48  50  52  53  59  64  67  73  75
  5   6   9  18  19  22  29  30  39  40  46  51  55  56  57  58  61  63  65  67  73  75
  1   7  12  14  20  25  27  33  38  42  43  52  55  56  65  66  67  72  73  75  76  77
  2   3   8   9  11  12  13  14  17  18  27  30  31  42  48  50  55  61  63  68  74  76
  2   8  13  14  17  18  19  20  23  25  29  35  37  40  43  44  58  59  62  71  72  75
  2   8  13  16  22  24  27  30  31  32  33  36  38  45  46  49  53  56  57  71  72  75
  6   7  10  14  17  18  32  33  36  40  43  44  45  46  49  51  54  60  65  68  74  76
  6   7  10  19  20  23  27  30  31  41  47  52  53  56  57  58  59  62  64  68  74  76
  2   8  13  15  21  26  28  34  39  40  43  44  53  56  57  67  68  73  74  76  77  78
  1   3   4   9  10  12  13  15  18  19  28  31  32  43  49  51  56  62  64  69  75  77
  1   3   9  15  18  19  20  21  24  26  30  36  38  41  44  45  59  60  63  72  73  76
  1   3   9  17  23  25  28  31  32  33  34  37  39  46  47  50  54  57  58  72  73  76
  7   8  11  15  18  19  33  34  37  41  44  45  46  47  50  52  53  55  61  69  75  77
  7   8  11  20  21  24  28  31  32  40  42  48  54  57  58  59  60  63  65  69  75  77
  1   3   9  14  16  22  27  29  35  41  44  45  54  57  58  66  68  69  74  75  77  78

Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier sind alle 13 Ovale maximaler Ordnung für Lösung 1 dieses Blockplans (in jeder Zeile ist ein Oval durch die Menge seiner Punkte dargestellt):

Lösung 1 (sämtliche Ovale)

 14  27  40  53
 15  28  41  54 
 16  29  42  55  
 17  30  43  56  
 18  31  44  57   
 19  32  45  58  
 20  33  46  59  
 21  34  47  60
 22  35  48  61 
 23  36  49  62 
 24  37  50  63  
 25  38  51  64   
 26  39  52  65

Literatur

Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.

Einzelnachweise

↑ Zvonimir Janko, Tran van Trung: Construction of an New Symmetric Block Design for (78,22,6) with the Help of Tactical Decompositions. In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Bd. 40, Nr. 2, 1985, S. 451–455, doi:10.1016/0097-3165(85)90107-4.
↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.

[1] Zvonimir Janko, Tran van Trung: Construction of an New Symmetric Block Design for (78,22,6) with the Help of Tactical Decompositions. In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Bd. 40, Nr. 2, 1985, S. 451–455, doi:10.1016/0097-3165(85)90107-4.

[2] Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.