Tits-System

Ein Tits-System (oft synonym auch BN-Paar genannt) wird in der mathematischen Disziplin der Gruppentheorie benutzt, um viele Resultate aus der Theorie der halbeinfachen Lie-Gruppen, der algebraischen Gruppen und der endlichen Gruppen vom Lie-Typ einheitlich formulieren und beweisen zu können. Außerdem bilden die Tits-Systeme das algebraische Gegenstück zur Gebäude-Theorie. Der Begriff wurde von Jacques Tits eingeführt.

Definition

Ein Tits-System besteht aus einem 4-Tupel ${\displaystyle (G,B,N,S)}$, wobei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe ist, ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle N}$ Untergruppen von ${\displaystyle G}$ sind und ${\displaystyle S\subseteq N/(B\cap N)}$ eine Menge von Nebenklassen von ${\displaystyle B\cap N}$ in ${\displaystyle N}$ ist, sodass folgende vier Axiome erfüllt sind:

T 1:	Die Gruppe ${\displaystyle G}$ wird von ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle N}$ erzeugt. Außerdem ist ${\displaystyle H:=B\cap N}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle N}$.
T 2:	Die Faktorgruppe ${\displaystyle W:=N/H}$ wird von der Menge ${\displaystyle S}$ erzeugt und es gilt ${\displaystyle s^{2}=1}$ für alle ${\displaystyle s\in S}$.
T 3:	Für ${\displaystyle s\in S}$ und ${\displaystyle w\in W}$ gilt ${\displaystyle sBw\subseteq BswB\cup BwB}$.
T 4:	Für ${\displaystyle s\in S}$ ist ${\displaystyle sBs^{-1}}$ keine Teilmenge von ${\displaystyle B}$.

Die Nummerierung T1 bis T4 stammt aus Tits' Originalarbeit.

Beispiele

• Oft wird als Standardbeispiel die Gruppe ${\displaystyle G:=\mathrm {GL} (n,K)}$ der invertierbaren ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über einem Körper ${\displaystyle K}$ angegeben. Hierbei ist ${\displaystyle B}$ die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Für die Gruppe ${\displaystyle N}$ nehmen wir alle Matrizen, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einen Eintrag ungleich Null haben. Die Gruppe ${\displaystyle H:=B\cap N}$ wird dann genau zu der Gruppe der Diagonalmatrizen und ${\displaystyle W=N/H}$ ist kanonisch isomorph zur symmetrischen Gruppe über ${\displaystyle n}$ Elementen. Die Menge ${\displaystyle S}$ besteht aus den Permutationen, die zwei benachbarte Elemente vertauschen.
• Sei allgemeiner ${\displaystyle G}$ eine reduktive algebraische Gruppe und ${\displaystyle B}$ eine Borel-Untergruppe, die einen maximalen Torus ${\displaystyle H}$ enthält. Sei ${\displaystyle N}$ der Normalisator von ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle S}$ ein minimales Erzeugendensystem von ${\displaystyle W:=N/H}$. Dann ist ${\displaystyle (G,B,N,S)}$ ein Tits-System.
• Sei ${\displaystyle X}$ eine Menge mit mindestens drei Elementen und ${\displaystyle G}$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe von ${\displaystyle X}$, sodass ${\displaystyle G}$ zweifach transitiv auf ${\displaystyle X}$ wirkt. Weiterhin seien zwei unterschiedliche Elemente ${\displaystyle x,y\in X}$ gegeben. Dann sei ${\displaystyle B}$ der Stabilisator von ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle N}$ sei definiert als die Gruppe, die die Menge ${\displaystyle \{x,y\}}$ als Menge fixiert, d. h. die Elemente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ werden entweder beide fixiert oder vertauscht. Dann ergibt sich ${\displaystyle H:=B\cap N}$ als punktweiser Stabilisator der Menge ${\displaystyle \{x,y\}}$. Die Faktorgruppe ${\displaystyle W:=N/H}$ hat Ordnung 2 und die Menge ${\displaystyle S}$ besteht nur aus einem einzigen Element und dieses entspricht der Vertauschung von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$.

Anmerkungen

Man kann zeigen, dass die Menge ${\displaystyle S}$ eindeutig festgelegt ist, wenn von einem Tits-System nur die Gruppen ${\displaystyle G,B,N}$ gegeben sind. Da außerdem die Gruppe ${\displaystyle G}$ von ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle N}$ erzeugt wird, steckt die gesamte Information über das Tits-System in den Gruppen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle N}$. Deswegen hat sich auch die Bezeichnung BN-Paar eingebürgert.

Bruhat-Zerlegung

Ein wichtiges Resultat, das sich im allgemeinen Rahmen von Tits-Systemen beweisen lässt, ist die sogenannte Bruhat-Zerlegung: Wenn ein Tits-System ${\displaystyle (G,B,N,S)}$ gegeben ist, dann gilt

${\displaystyle G=BNB=\bigcup _{n\in N}BnB=\bigcup _{w\in W}BwB}$,

wobei ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{w\in W}BwB}$ eine disjunkte Vereinigung ist, das heißt ${\displaystyle W}$ ist so gewählt, dass für ${\displaystyle w\neq w'}$ die Mengen ${\displaystyle BwB}$ und ${\displaystyle Bw'B}$ disjunkt sind.

Anwendungen

Wenn bei einem Tits-System ${\displaystyle (G,B,N,S)}$ noch die folgenden Zusatzeigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle B}$ ist auflösbar
• Der Schnitt aller Konjugate von ${\displaystyle B}$ ist trivial
• Die Menge ${\displaystyle S}$ lässt sich nicht in zwei disjunkte nichtkommutierende Teilmengen zerlegen
• ${\displaystyle G}$ ist perfekt

Dann ist die Gruppe ${\displaystyle G}$ eine einfache Gruppe. Oft ist es sehr leicht, die ersten drei Eigenschaften nachzuprüfen und es bleibt nur noch die Perfektheit von ${\displaystyle G}$ zu zeigen, was deutlich einfacher ist, als direkt zu zeigen, dass ${\displaystyle G}$ eine einfache Gruppe ist. Dieses Resultat benutzt man zum Beispiel bei der Klassifikation der einfachen endlichen Gruppen, um zu zeigen, dass die meisten endlichen Gruppen vom Lie-Typ einfach sind.

Zusammenhang mit Gebäudetheorie

Oft ist es hilfreich, Gruppen zu untersuchen, indem man sie auf interessanten geometrischen Objekten wirken lässt. Jedem Tits-System ${\displaystyle (G,B,N,S)}$ lässt sich auf kanonische Art und Weise ein geometrisches Objekt zuordnen, genannt Gebäude, sodass ${\displaystyle G}$ auf diesem Gebäude wirkt. Umgekehrt lässt sich auch jedem Gebäude ein Tits-System zuordnen, sodass die gruppentheoretische Theorie der Tits-Systeme in gewisser Art und Weise äquivalent zur geometrischen Theorie der Gebäude ist.

Weblinks

• Jacques Tits: Formes quadratiques, groupes orthogonaux et algèbres de Clifford. Inventiones Mathematicae 1968
• Mark Ronan Buildings