Normalisator

Der Normalisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

Definition

Es seien $G$ eine Gruppe und $U$ eine nichtleere Teilmenge von $G$ . Der Normalisator von $U$ in $G$ ist definiert als

N_{G} (U) := {g \in G ∣ g U g^{- 1} = U}

.

Dabei ist $g U g^{- 1} = {g u g^{- 1} ∣ u \in U}$ , entsprechend der Definition des Komplexproduktes.

Mit anderen Worten: Der Normalisator $N_{G} (U)$ besteht aus denjenigen $g \in G$ , für die gilt, dass $U$ unter Konjugation mit $g$ invariant ist. (Man sagt, dass diese Elemente $U$ normalisieren.)

Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass $U$ als Ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente $u \in U$ und $g \in N_{G} (U)$ durchaus $g u g^{- 1} \neq u$ ; es gilt aber stets $g u g^{- 1} \in U$ .

Eigenschaften

Der Normalisator ist eine Untergruppe von $G$ .
Der Index des Normalisators $N_{G} (U)$ liefert die Anzahl der unterschiedlichen Konjugierten $g U g^{- 1}$ der Menge $U$ , d. h. $| {g U g^{- 1} ∣ g \in G} | = [G : N_{G} (U)]$ .
Eine Untergruppe $U$ ist stets Normalteiler in ihrem Normalisator $N_{G} (U)$ . Genauer: $N_{G} (U)$ ist die bezüglich Inklusion größte Untergruppe von $G$ , in der $U$ Normalteiler ist.
Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in $G$ , wenn ihr Normalisator ganz $G$ ist.
Man kann den Normalisator auch wie folgt einführen:
Sei $G$ eine Gruppe. Man lasse $G$ auf der Potenzmenge von $G$ durch Konjugation operieren. Dann ist der Stabilisator dieser Operation für eine gegebene Teilmenge von $G$ gerade der Normalisator dieser Teilmenge.

Beispiel

Es sei $G$ die Gruppe der invertierbaren $n \times n$ -Matrizen (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl $n$ . Weiter sei $U$ die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Dann ist der Normalisator von $U$ in $G$ die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der Quotient $N_{G} (U) / U$ ist isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_{n}$ .

Einzelnachweise

↑ Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Karl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 52, Definition 1.8.6.
1 2 Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer, 1996, ISBN 1-4612-6443-X, S. 38 (englisch).
1 2 3 Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Karl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 53, Satz 1.8.7.
↑ Claudio Procesi: Lie Groups. An Approach through Invariants and Representations. Springer, 2007, ISBN 978-0-387-26040-2, S. 218, Kap. 4.8 Representations of Linearly Reductive Groups (englisch).

[meyberg186-1] Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Karl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 52, Definition 1.8.6.

[robinson-2] 1 2 Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer, 1996, ISBN 1-4612-6443-X, S. 38 (englisch).

[meyberg187-3] 1 2 3 Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Karl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 53, Satz 1.8.7.

[Procesi-4] Claudio Procesi: Lie Groups. An Approach through Invariants and Representations. Springer, 2007, ISBN 978-0-387-26040-2, S. 218, Kap. 4.8 Representations of Linearly Reductive Groups (englisch).

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