Airy-Formel

Die Airy-Formel, benannt nach dem Mathematiker und Astronom George Biddell Airy, gibt den Verlauf der transmittierten Intensität elektromagnetischer Strahlung in einem Fabry-Pérot-Interferometer an, in Abhängigkeit vom Verhältnis der Wellenlänge oder Frequenz der Strahlung zum freien Spektralbereich des Interferometers.

Die Airy-Formel ergibt sich durch Addition der elektrischen Felder aller im Interferometer umlaufenden Teilwellen unter Berücksichtigung ihrer Phasen und Amplituden.

Herleitung

Die Intensität der im Interferometer umlaufenden Strahlen ist proportional zur transmittierten Intensität. Bei der Berechnung muss die nicht-ideale Reflexion an den beiden Endspiegeln mit dem Amplituden-Reflexionskoeffizienten $r \neq 1$ berücksichtigt werden. Er ist über $r^{2} + t^{2} = 1$ mit dem Amplituden-Transmissionskoeffizienten $t$ verknüpft. Nach $m$ Umläufen, also $2 m$ Reflexionen, ist der Betrag des elektrischen Feldes um den Faktor $r^{2 m}$ kleiner.

Während eines Umlaufs, d. h., wenn eine Teilwelle das Interferometer einmal hin und zurück durchlaufen hat, akkumuliert diese einen Phasenwinkel $2 φ$ (also $1 φ$ pro zurückgelegter Resonatorlänge $L$ ). Diese Phase hängt ab

vom Verhältnis der Resonatorlänge $L$ zur Wellenlänge $λ$ des Lichts sowie
vom Brechungsindex $n$ des Mediums zwischen den Endspiegeln.

Dies lässt sich auch ausdrücken als Verhältnis der Lichtfrequenz $ν$ zum freien Spektralbereich $Δ ν_{FSB} = \frac{c}{2 n L}$ (Einheit Frequenz) des Fabry-Pérot-Interferometers mit dem Betrag des Wellenvektors $k = 2 π / λ$ :

φ = n k L = n \frac{2 π L}{λ} = π \frac{ν}{Δ ν_{FSB}}

Die elektrische Feldstärke

E

im Innern des Resonators ist

\begin{matrix} E & = E_{i} t (1 + \sum_{m = 1}^{m = \infty} r^{2 m} \exp (2 i m φ)) \\ = E_{i} \frac{\sqrt{1 - r^{2}}}{1 - r^{2} \exp (2 i φ)} \end{matrix}

mit der Feldstärke $E_{i}$ des einfallenden Lichts.

In der obigen Rechnung wurde nach einer Indexverschiebung die geometrische Reihe ausgewertet.

Die einzelnen Beiträge der transmittierten Teilwellen addieren sich nach der Passage durch den Ausgangsspiegel zur resultierenden Feldamplitude $E_{t}$ :

E_{t} = t \cdot E = \sqrt{1 - r^{2}} \cdot E = E_{i} \frac{1 - r^{2}}{1 - r^{2} \exp (2 i φ)}

Das Betragsquadrat dieses Ausdrucks ergibt mit verschiedenen trigonometrischen Identitäten die Airy-Formel:

\begin{matrix} I_{t} & = E_{t} \cdot E_{t}^{*} = \frac{I_{i}}{1 + {(\frac{2 \sqrt{R}}{1 - R})}^{2} \sin^{2} (φ)} \\ \Rightarrow Airy-Formel: \frac{I_{t}}{I_{i}} = \frac{1}{1 + {(\frac{2 ℱ}{π})}^{2} \sin^{2} (φ)} = \frac{1}{1 + F \sin^{2} (φ)} \end{matrix}

In dieser Intensitätsdarstellung werden verwendet:

der Reflexionskoeffizient $R = r^{2}$
der Transmissionskoeffizient $T = t^{2}$
die Finesse $ℱ = \frac{π \sqrt{R}}{1 - R}$ .
der Finesse-Koeffizient $F = {(\frac{2 \sqrt{R}}{1 - R})}^{2} = \frac{4 R}{(1 - R)^{2}} = {(\frac{2 ℱ}{π})}^{2}$

Siehe auch

Fresnelsche Formeln

Einzelnachweise

↑ Miles V. Klein, Thomas E. Furtak: Optics. 2. Auflage. Wiley, New York 1986, ISBN 0-471-84311-3, S. 302.
↑ Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. 3. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8351-0143-2, S. 197.
↑ I.N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1980, ISBN 3-87144-492-8, S. 575.
↑ Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. 3. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8351-0143-2, S. 198.
↑ Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 493.

[1] Miles V. Klein, Thomas E. Furtak: Optics. 2. Auflage. Wiley, New York 1986, ISBN 0-471-84311-3, S. 302.

[2] Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. 3. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8351-0143-2, S. 197.

[3] I.N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1980, ISBN 3-87144-492-8, S. 575.

[4] Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. 3. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8351-0143-2, S. 198.

[5] Kip S. Thorne, Roger D. Blandford: Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2017, ISBN 0-691-15902-5, S. 493.